Question

3 the decimal form of \\(\frac{1}{3}\\) is a repeating decimal. are all the multiples of \\(\frac{1}{3}\\) also repeating decimals? explain.

Explanation:

Step1: Analizar la fracción $\frac{1}{3}$

La fracción $\frac{1}{3}$ al convertirla a decimal, hacemos la división: $1\div3 = 0.\overline{3}$, que es un decimal periódico.

Step2: Analizar múltiplos de $\frac{1}{3}$

Tomemos un múltiplo, por ejemplo, $2\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Al dividir $2\div3 = 0.\overline{6}$, que es también un decimal periódico. Otro ejemplo: $3\times\frac{1}{3}=1$, que es un entero (decimal terminado? Pero 1 se puede escribir como $1.000\ldots$, pero en realidad, los múltiplos enteros: si tomamos $n\times\frac{1}{3}$ donde $n$ es un entero, si $n$ es múltiplo de 3, entonces $n\times\frac{1}{3}=k$ (entero), que es un decimal terminado (o entero). Pero si $n$ no es múltiplo de 3, entonces $n\times\frac{1}{3}=\frac{n}{3}$ donde el numerador no es divisible por 3, por lo que la división $n\div3$ tendrá un decimal periódico. Wait, pero la pregunta es "Are all the multiples of $\frac{1}{3}$ also repeating decimals?". Pero hay un caso especial: cuando el múltiplo es un entero (por ejemplo, $3\times\frac{1}{3}=1$, que es $1.0$, un decimal terminado). Pero quizás la pregunta se refiere a múltiplos no enteros? O quizás el enfoque es que cuando se multiplica $\frac{1}{3}$ por un número entero $k$, si $k$ no es divisible por 3, entonces $\frac{k}{3}$ es un decimal periódico, y si $k$ es divisible por 3, entonces es un entero (decimal terminado). Pero la pregunta original: "The decimal form of $\frac{1}{3}$ is a repeating decimal. Are all the multiples of $\frac{1}{3}$ also repeating decimals? Explain."

Wait, pero $3\times\frac{1}{3}=1$, que es $1.0$, un decimal terminado. Pero ¿es 1 un decimal periódico? No, es un entero. Pero quizás la pregunta se refiere a múltiplos donde el resultado no es entero. O tal vez el error está en la interpretación. Wait, la definición de decimal periódico es un decimal que tiene un patrón repetitivo, incluyendo los enteros? No, los enteros son decimales terminados (con ceros repetitivos, pero usualmente se consideran terminados). Entonces, no todos los múltiplos de $\frac{1}{3}$ son decimales periódicos en el sentido de no terminados. Pero si consideramos que los decimales terminados son periódicos con período 0 (ceros repetitivos), entonces sí. Pero la mayoría de las veces, los decimales periódicos se refieren a los no terminados.

Wait, volviendo: la fracción $\frac{1}{3}$ es $0.\overline{3}$. Un múltiplo es $n\times\frac{1}{3}$, donde $n$ es un número. Si $n$ es un entero, entonces:

- Si $n = 3k$ (k entero), entonces $n\times\frac{1}{3}=k$, que es un entero (decimal terminado, $k.000\ldots$)
- Si $n$ no es múltiplo de 3, entonces $n\times\frac{1}{3}=\frac{n}{3}$, donde el numerador no es divisible por 3, por lo que la división da un decimal periódico (porque el denominador tiene un factor primo distinto de 2 y 5, o más precisamente, en la fracción reducida, el denominador tiene factores primos distintos de 2 y 5, lo que hace que el decimal sea periódico).

Pero la pregunta es "Are all the multiples of $\frac{1}{3}$ also repeating decimals?". Entonces, si consideramos que los enteros (decimales terminados) son periódicos con período 0 (ceros repetitivos), entonces sí. Pero si consideramos que los decimales periódicos son los no terminados, entonces no, porque hay múltiplos que son enteros (decimales terminados). Pero quizás la pregunta se refiere a múltiplos donde el resultado no es entero, o tal vez el enfoque es que cuando se multiplica $\frac{1}{3}$ por un número que no es múltiplo de 3, el resultado es un decimal periódico, y cuando se multiplica por un múltiplo de 3, es un entero (que se puede considerar como decimal periódico con período 0).

Entonces, la explicación: La fracción $\frac{1}{3}$ es $0.\overline{3}$ (decimal periódico). Un múltiplo de $\frac{1}{3}$ es de la forma $n\times\frac{1}{3}=\frac{n}{3}$. Si $n$ es divisible por 3, entonces $\frac{n}{3}$ es un entero (ejemplo: $3\times\frac{1}{3}=1=1.000\ldots$, que es un decimal terminado, pero se puede considerar como periódico con período 0). Si $n$ no es divisible por 3, entonces $\frac{n}{3}$ al dividir $n\div3$ da un decimal periódico (porque el denominador 3 es un primo distinto de 2 y 5, lo que implica que el decimal no es terminado y es periódico). Por lo tanto, todos los múltiplos de $\frac{1}{3}$ son decimales periódicos (ya sea con período 0 para enteros o con período no nulo para fracciones propias).

Answer:

Sí, todos los múltiplos de $\frac{1}{3}$ son decimales periódicos. Explicación: La fracción $\frac{1}{3}=0.\overline{3}$ (periódico). Un múltiplo $n\times\frac{1}{3}=\frac{n}{3}$. Si $n$ es múltiplo de 3, $\frac{n}{3}$ es entero (ej. $3\times\frac{1}{3}=1=1.000\ldots$, periódico con período 0). Si $n$ no es múltiplo de 3, $\frac{n}{3}$ al dividir da un decimal periódico (pues el denominador 3 no es 2 ni 5, así que el decimal no termina y es periódico).