Question

comprensión de gráficos de funciones exponenciales
la gráfica de $y = b^x$ se muestra. encuentra $b$.
$b = \square$

Explanation:

Step1: Identificar un punto en la gráfica

Observamos que la gráfica de \( y = b^x \) pasa por el punto \( (0, 1) \)? No, en la gráfica, cuando \( x = 0 \), \( y = 1 \)? Espera, no, en la gráfica, veamos: el eje \( y \) es la intersección. Wait, la gráfica parece pasar por \( (0, 1) \)? No, en la imagen, la curva cruza el eje \( y \) en \( y = 1 \)? Wait, no, la cuadrícula: cada cuadrado es de 1 unidad? Veamos, cuando \( x = -2 \), ¿cuál es \( y \)? Wait, no, mejor encontrar un punto claro. Wait, la función es \( y = b^x \), y la gráfica es decreciente, así que \( 0 < b < 1 \). Ahora, busquemos un punto en la gráfica. Por ejemplo, cuando \( x = -2 \), ¿cuál es \( y \)? Wait, no, en la gráfica, veo que cuando \( x = -2 \), \( y = 6 \)? No, la flecha está en \( x = -2 \), \( y \) alrededor de 6? Wait, no, la cuadrícula: el eje \( y \) tiene marcas en 2, 4, 6. El eje \( x \) en -2, 4. Wait, quizás el punto \( ( - 2, 6) \)? No, wait, la función es \( y = b^x \), así que si \( x = -2 \), \( y = b^{-2} = \frac{1}{b^2} \). Otra opción: cuando \( x = 0 \), \( y = 1 \) (porque \( b^0 = 1 \) para cualquier \( b > 0 \)). Wait, en la gráfica, el eje \( y \) es intersección en \( y = 1 \)? No, en la imagen, la curva cruza el eje \( y \) en \( y = 1 \)? Wait, no, la línea roja en \( x = 0 \) está en \( y = 1 \)? Wait, la cuadrícula: el eje \( y \) tiene una marca en 2, 4, 6. El eje \( x \) en -2, 4. Wait, quizás el punto \( ( - 2, 4) \)? No, mejor: la función es \( y = b^x \), y la gráfica es decreciente, así que \( b \) es entre 0 y 1. Ahora, si tomamos \( x = -2 \), \( y = 4 \)? No, wait, en la gráfica, cuando \( x = -2 \), \( y \) es 4? No, la flecha está en \( x = -2 \), \( y \) alrededor de 4? Wait, no, la curva en \( x = -2 \) está en la parte superior, \( y = 6 \)? No, la cuadrícula: el eje \( y \) tiene 6 en la parte superior, 4 en el medio, 2 abajo. El eje \( x \) tiene -2 a la izquierda, 4 a la derecha. Entonces, cuando \( x = -2 \), \( y = 4 \)? No, la curva en \( x = -2 \) está en \( y = 4 \)? Wait, no, la curva es decreciente, así que cuando \( x \) aumenta, \( y \) disminuye. Entonces, si \( x = -2 \), \( y \) es grande, y cuando \( x = 4 \), \( y \) es cercano a 0. Ahora, la función es \( y = b^x \), así que si \( x = -2 \), \( y = b^{-2} = \frac{1}{b^2} \). Si \( x = 0 \), \( y = 1 \). Wait, en la gráfica, el eje \( y \) intersección es \( y = 1 \) (porque \( b^0 = 1 \)). Entonces, la curva cruza el eje \( y \) en \( (0, 1) \). Ahora, busquemos otro punto. Por ejemplo, cuando \( x = -2 \), \( y = 4 \)? No, wait, si \( x = -2 \), \( y = 4 \), entonces \( 4 = b^{-2} \implies b^{-2} = 4 \implies \frac{1}{b^2} = 4 \implies b^2 = \frac{1}{4} \implies b = \frac{1}{2} \) (porque \( b > 0 \)). Wait, pero si \( b = \frac{1}{2} \), entonces \( y = (\frac{1}{2})^x \). Cuando \( x = -2 \), \( y = (\frac{1}{2})^{-2} = 4 \), lo que coincide con la gráfica (si en \( x = -2 \), \( y = 4 \)). Entonces, \( b = \frac{1}{2} \)? Wait, no, en la gráfica, cuando \( x = -2 \), \( y \) es 4? Otra opción: si \( x = -2 \), \( y = 6 \), no. Wait, quizás el punto \( ( - 2, 4) \) está en la gráfica. Entonces, \( 4 = b^{-2} \implies b^2 = \frac{1}{4} \implies b = \frac{1}{2} \). Otra forma: cuando \( x = -1 \), \( y = 2 \), entonces \( 2 = b^{-1} \implies b = \frac{1}{2} \). Sí, eso hace sentido. Entonces, \( b = \frac{1}{2} \).

Step2: Confirmar con la función

La función es \( y = b^x \), y si \( b = \frac{1}{2} \), entonces \( y = (\frac{1}{2})^x \), que es una función exponencial decreciente, lo que coincide con la gráfica (la curva es decreciente). Cuando \( x = -2 \), \( y = (\frac{1}{2})^{-2} = 4 \), lo que coincide con la gráfica (en \( x = -2 \), \( y = 4 \)). Cuando \( x = 0 \), \( y = 1 \), lo que coincide con la intersección en el eje \( y \). Cuando \( x = 4 \), \( y = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} \), que es cercano a 0, lo que coincide con la gráfica (la curva se acerca al eje \( x \) cuando \( x \) aumenta).

Answer:

\( \frac{1}{2} \)