Question

the circle below has center t. suppose that m\\(\overarc{uv} = 68^\circ\\) and that \\(\overline{uw}\\) is tangent to the circle at u. find the following. (a) \\(m\angle utv = \square^\circ\\) (b) \\(m\angle vuw = \square^\circ\\)

Explanation:

Step1: Encontrar \( m\angle UTV \)

El ángulo central \( \angle UTV \) es igual a la medida del arco \( \overset{\frown}{UV} \) que subtiende. Dado que \( m\overset{\frown}{UV} = 68^\circ \), entonces \( m\angle UTV = 68^\circ \).

Step2: Encontrar \( m\angle VUW \)

La tangente a un círculo es perpendicular al radio en el punto de contacto, por lo que \( \angle TUW = 90^\circ \) (ya que \( UW \) es tangente en \( U \) y \( TU \) es radio). Además, \( \triangle TUV \) es isósceles ( \( TU = TV \) como radios), por lo que \( \angle TUV = \angle TVU \). La suma de ángulos en un triángulo es \( 180^\circ \), así que \( \angle TUV = \frac{180^\circ - 68^\circ}{2} = 56^\circ \). Luego, \( \angle VUW = \angle TUW - \angle TUV = 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ \).

Answer:

(a) \( m\angle UTV = \boldsymbol{68^\circ} \)
(b) \( m\angle VUW = \boldsymbol{34^\circ} \)