Question

the circle below has center e. suppose that m∠feg = 128° and that fh is tangent to the circle at f. find the following.
(a) m⌢fg =
(b) m∠gfh =

Explanation:

Step1: Encontrar \( m\overarc{FG} \)

El ángulo central \( \angle FEG \) mide \( 128^\circ \). El ángulo central es igual a la medida del arco que subtiende. Entonces, \( m\overarc{FG} = m\angle FEG = 128^\circ \).

Step2: Encontrar \( m\angle GFH \)

La recta \( FH \) es tangente al círculo en \( F \), por lo que \( FE \perp FH \) (radio perpendicular a la tangente en el punto de contacto). Así, \( \angle EFH = 90^\circ \).

El triángulo \( FEG \) es isósceles ( \( FE = GE \), radios del círculo), por lo que \( \angle EFG = \angle EGF \). La suma de ángulos en un triángulo es \( 180^\circ \), entonces:

$$ \angle EFG + \angle EGF + \angle FEG = 180^\circ $$

$$ 2\angle EFG + 128^\circ = 180^\circ $$

$$ 2\angle EFG = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ $$

$$ \angle EFG = 26^\circ $$

Ahora, \( \angle GFH = \angle EFH - \angle EFG = 90^\circ - 26^\circ = 64^\circ \).

Answer:

(a) \( m\overarc{FG} = \boldsymbol{128^\circ} \)
(b) \( m\angle GFH = \boldsymbol{64^\circ} \)