Question

the circle below has center e. suppose that m∠feg = 128° and that fh is tangent to the circle at f. find the following. (a) moverarc{fg} = ° (b) m∠gfh = °

Explanation:

Step1: Resolver parte (a) - Arco \( \overset{\frown}{FG} \)

El ángulo central \( \angle FEG \) mide \( 128^\circ \). En un círculo, la medida de un arco determinado por un ángulo central es igual a la medida del ángulo central. Entonces, \( m\overset{\frown}{FG} = m\angle FEG = 128^\circ \).

Step2: Resolver parte (b) - Ángulo \( \angle GFH \)

La recta \( FH \) es tangente al círculo en \( F \), por lo que \( FE \perp FH \) (la tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto). Entonces, \( \angle EFH = 90^\circ \).

El triángulo \( FEG \) es isósceles porque \( FE = GE \) (ambos son radios del círculo). Entonces, los ángulos \( \angle EFG \) y \( \angle EGF \) son iguales. La suma de los ángulos en un triángulo es \( 180^\circ \), así que:

\( m\angle EFG + m\angle EGF + m\angle FEG = 180^\circ \)

Como \( m\angle EFG = m\angle EGF \) y \( m\angle FEG = 128^\circ \):

\( 2 \cdot m\angle EFG + 128^\circ = 180^\circ \)

\( 2 \cdot m\angle EFG = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ \)

\( m\angle EFG = \frac{52^\circ}{2} = 26^\circ \)

Ahora, \( \angle EFH = 90^\circ \), y \( \angle EFH = \angle EFG + \angle GFH \). Entonces:

\( 90^\circ = 26^\circ + m\angle GFH \)

\( m\angle GFH = 90^\circ - 26^\circ = 64^\circ \)

Answer:

(a) \( m\overset{\frown}{FG} = \boldsymbol{128^\circ} \)
(b) \( m\angle GFH = \boldsymbol{64^\circ} \)