Question

applications

1. all photo apps on a phone or computer will allow you to rotate the image around the center point of the rectangular picture. often you will see an icon like the one shown.

the following transformation will rotate an image by one - quarter turn (90°) counterclockwise:
$f:(x,y)→(-y,x)$
(a) write down the coordinates of a, b, c, and d below and show where each point gets mapped using the function above. label the image points $a,b,c$, and $d$.
(b) plot the image points from (a) and complete the image by drawing in the appropriate line segments.
(c) was the transformation in this problem an example of a rigid motion? explain.
reasoning

1. a transformation that is a rigid body motion maps $△abc$ to $△efg$. a second rigid body motion then maps $△efg$ to $△ghi$. explain why $△ghi$ must be the same size and shape as $△abc$.

Explanation:

(a)

Step1: Determinar coordenadas de \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\)

Observando la gráfica, \(A(- 8,2)\), \(B(-6,-2)\), \(C(8,2)\), \(D(6,-2)\)

Step2: Aplicar la transformación \(f:(x,y)\to(-y,x)\)

• Para \(A(-8,2)\): \(x = - 8\), \(y = 2\). Entonces \(A'(-2,-8)\) (sustituyendo en \(f\): \((x,y)\to(-y,x)\) se obtiene \((-2,-8)\))
• Para \(B(-6,-2)\): \(x=-6\), \(y = - 2\). Entonces \(B'(2,-6)\) (sustituyendo en \(f\): \((x,y)\to(-y,x)\) se obtiene \((2,-6)\))
• Para \(C(8,2)\): \(x = 8\), \(y = 2\). Entonces \(C'(-2,8)\) (sustituyendo en \(f\): \((x,y)\to(-y,x)\) se obtiene \((-2,8)\))
• Para \(D(6,-2)\): \(x = 6\), \(y=-2\). Entonces \(D'(2,6)\) (sustituyendo en \(f\): \((x,y)\to(-y,x)\) se obtiene \((2,6)\))

(c)

Step1: Definir movimiento rígido

Un movimiento rígido (isometría) es una transformación que preserva distancias y ángulos.

Step2: Analizar la transformación \(f:(x,y)\to(-y,x)\)

La transformación \(f\) es una rotación de \(90^{\circ}\) en el plano cartesiano. Las rotaciones son movimientos rígidos porque no cambian la longitud de los segmentos de línea ni la medida de los ángulos entre ellos.

Answer:

(a)

\(A(-8,2)\to A'(-2,-8)\), \(B(-6,-2)\to B'(2,-6)\), \(C(8,2)\to C'(-2,8)\), \(D(6,-2)\to D'(2,6)\)

(c)

Sí, es un movimiento rígido. Las rotaciones (en este caso una rotación de \(90^{\circ}\) counter - clockwise) son isometrías, es decir, preservan distancias y ángulos.