Question

angles and parallel lines
parallel lines and angle pairs when two parallel lines are cut by a transversal,
the following pairs of angles are congruent.

• corresponding angles
• alternate interior angles
• alternate exterior angles

also, consecutive interior angles are supplementary.
example in the figure, ( m angle 2 = 75 ). find the measures
of the remaining angles.
( m angle 1 = 105 quad angle 1 ) and ( angle 2 ) form a linear pair.
( m angle 3 = 105 quad angle 3 ) and ( angle 2 ) form a linear pair.
( m angle 4 = 75 quad angle 4 ) and ( angle 2 ) are vertical angles.
( m angle 5 = 105 quad angle 5 ) and ( angle 3 ) are alternate interior angles.
( m angle 6 = 75 quad angle 6 ) and ( angle 2 ) are corresponding angles.
( m angle 7 = 105 quad angle 7 ) and ( angle 3 ) are corresponding angles.
( m angle 8 = 75 quad angle 8 ) and ( angle 6 ) are vertical angles.
exercises
in the figure, ( m angle 3 = 102 ). find the measure of each angle.
tell which postulate(s) or theorem(s) you used.

1. ( angle 5 ) 2. ( angle 6 )
2. ( angle 11 ) 4. ( angle 7 )
3. ( angle 15 ) 6. ( angle 14 )

in the figure, ( m angle 9 = 80 ) and ( m angle 5 = 68 ). find the measure
of each angle. tell which postulate(s) or theorem(s) you used.

1. ( angle 12 ) 8. ( angle 1 )
2. ( angle 4 ) 10. ( angle 3 )
3. ( angle 7 ) 12. ( angle 16 )

Explanation:

1. $\angle5$

• Step1: Identificar la relación

$\angle3$ y $\angle5$ son ángulos alternos internos.

• Step2: Aplicar el teorema

Según el teorema de ángulos alternos internos, $m\angle5 = m\angle3$.
Como $m\angle3 = 102$, entonces $m\angle5=102$.

2. $\angle6$

• Step1: Identificar la relación

$\angle3$ y $\angle6$ son ángulos consecutivos internos.

• Step2: Aplicar el teorema

Según el teorema de ángulos consecutivos internos, $m\angle3 + m\angle6=180$.
Sustituyendo $m\angle3 = 102$, tenemos $102 + m\angle6=180$.
Resolviendo para $m\angle6$: $m\angle6=180 - 102=78$.

3. $\angle11$

• Step1: Identificar la relación

$\angle3$ y $\angle11$ son ángulos correspondientes.

• Step2: Aplicar el postulado

Según el postulado de ángulos correspondientes, $m\angle11 = m\angle3$.
Como $m\angle3 = 102$, entonces $m\angle11 = 102$.

4. $\angle7$

• Step1: Identificar la relación

$\angle5$ y $\angle7$ son ángulos verticales.

• Step2: Aplicar el teorema

Según el teorema de ángulos verticales, $m\angle7 = m\angle5$.
Como $m\angle5 = 102$ (calculado en el ejercicio 1), entonces $m\angle7 = 102$.

5. $\angle15$

• Step1: Identificar la relación

$\angle11$ y $\angle15$ son ángulos correspondientes.

• Step2: Aplicar el postulado

Según el postulado de ángulos correspondientes, $m\angle15 = m\angle11$.
Como $m\angle11 = 102$ (calculado en el ejercicio 3), entonces $m\angle15 = 102$.

6. $\angle14$

• Step1: Identificar la relación

$\angle11$ y $\angle14$ son ángulos consecutivos internos.

• Step2: Aplicar el teorema

Según el teorema de ángulos consecutivos internos, $m\angle11 + m\angle14=180$.
Sustituyendo $m\angle11 = 102$, tenemos $102 + m\angle14=180$.
Resolviendo para $m\angle14$: $m\angle14=180 - 102 = 78$.

7. $\angle12$

• Step1: Identificar la relación

$\angle9$ y $\angle12$ son ángulos verticales.

• Step2: Aplicar el teorema

Según el teorema de ángulos verticales, $m\angle12 = m\angle9$.
Como $m\angle9 = 80$, entonces $m\angle12 = 80$.

8. $\angle1$

• Step1: Identificar la relación

$\angle5$ y $\angle1$ son ángulos correspondientes.

• Step2: Aplicar el postulado

Según el postulado de ángulos correspondientes, $m\angle1 = m\angle5$.
Como $m\angle5 = 68$, entonces $m\angle1 = 68$.

9. $\angle4$

• Step1: Identificar la relación

$\angle1$ y $\angle4$ son ángulos verticales.

• Step2: Aplicar el teorema

Según el teorema de ángulos verticales, $m\angle4 = m\angle1$.
Como $m\angle1 = 68$ (calculado en el ejercicio 8), entonces $m\angle4 = 68$.

10. $\angle3$

• Step1: Identificar la relación

$\angle1$ y $\angle3$ son ángulos consecutivos internos.

• Step2: Aplicar el teorema

Según el teorema de ángulos consecutivos internos, $m\angle1 + m\angle3=180$.
Sustituyendo $m\angle1 = 68$, tenemos $68 + m\angle3=180$.
Resolviendo para $m\angle3$: $m\angle3=180 - 68 = 112$.

11. $\angle7$

• Step1: Identificar la relación

$\angle5$ y $\angle7$ son ángulos verticales.

• Step2: Aplicar el teorema

Según el teorema de ángulos verticales, $m\angle7 = m\angle5$.
Como $m\angle5 = 68$, entonces $m\angle7 = 68$.

12. $\angle16$

• Step1: Identificar la relación

$\angle14$ y $\angle16$ son ángulos verticales.

• Step2: Aplicar el teorema

Primero, calculamos $m\angle14$. $\angle9$ y $\angle14$ son ángulos correspondientes.
Según el postulado de ángulos correspondientes, $m\angle14 = m\angle9 = 80$.
Luego, como $\angle14$ y $\angle16$ son ángulos verticales, $m\angle16 = m\angle14 = 80$.

Answer:

1. $m\angle5 = 102$ (teorema de ángulos alternos internos)
2. $m\angle6 = 78$ (teorema de ángulos consecutivos internos)
3. $m\angle11 = 102$ (postulado de ángulos correspondientes)
4. $m\angle7 = 102$ (teorema de ángulos verticales)
5. $m\angle15 = 102$ (postulado de ángulos correspondientes)
6. $m\angle14 = 78$ (teorema de ángulos consecutivos internos)
7. $m\angle12 = 80$ (teorema de ángulos verticales)
8. $m\angle1 = 68$ (postulado de ángulos correspondientes)
9. $m\angle4 = 68$ (teorema de ángulos verticales)
10. $m\angle3 = 112$ (teorema de ángulos consecutivos internos)
11. $m\angle7 = 68$ (teorema de ángulos verticales)
12. $m\angle16 = 80$ (teorema de ángulos verticales)