Question

ab = \square
redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
(right triangle with right angle at c, side bc = 2, angle at a is 25°)

Explanation:

Step1: Identificar la función trigonométrica

En el triángulo rectángulo \( \triangle ABC \) con \( \angle C = 90^\circ \), \( BC = 2 \) y \( \angle A = 25^\circ \), queremos encontrar \( AB \). Usamos la tangente: \( \tan(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \), pero aquí \( BC \) es el cateto opuesto a \( \angle A \), y \( AB \) es la hipotenusa? No, espera: \( BC = 2 \) es el cateto adyacente a \( \angle A \)? No, \( \angle A = 25^\circ \), entonces el cateto opuesto a \( \angle A \) es \( BC \), y el cateto adyacente es \( AC \). Wait, no: en \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), así que \( \angle A + \angle B = 90^\circ \). El cateto opuesto a \( \angle A \) es \( BC = 2 \), y el cateto adyacente es \( AC \). Pero queremos \( AB \), la hipotenusa? No, wait, la pregunta es \( AB \). Wait, \( BC = 2 \), \( \angle A = 25^\circ \), entonces \( \tan(25^\circ) = \frac{BC}{AC} \)? No, no: \( \tan(\angle A) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{BC}{AC} \). Pero si queremos \( AB \), la hipotenusa, usamos \( \sin(\angle A) = \frac{BC}{AB} \), entonces \( AB = \frac{BC}{\sin(25^\circ)} \). Wait, no: \( \sin(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \), así que \( \sin(25^\circ) = \frac{BC}{AB} \), entonces \( AB = \frac{BC}{\sin(25^\circ)} \). Wait, \( BC = 2 \), así que \( AB = \frac{2}{\sin(25^\circ)} \)? No, wait, quizás me equivoqué. Wait, \( \angle A = 25^\circ \), \( BC = 2 \) (cateto opuesto a \( \angle A \)), entonces \( \sin(25^\circ) = \frac{BC}{AB} \implies AB = \frac{BC}{\sin(25^\circ)} \). Otra opción: \( \cos(25^\circ) = \frac{AC}{AB} \), pero no conocemos \( AC \). Entonces usamos \( \sin(25^\circ) \).

Step2: Calcular el valor

Primero, calcular \( \sin(25^\circ) \). \( \sin(25^\circ) \approx 0.4226 \). Entonces \( AB = \frac{2}{\sin(25^\circ)} \approx \frac{2}{0.4226} \approx 4.73 \)? Wait, no, wait: quizás me equivoqué en la identificación del cateto. Wait, el triángulo: \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 25^\circ \), \( BC = 2 \) (lado \( BC \) es el cateto opuesto a \( \angle A \)), entonces \( \tan(25^\circ) = \frac{BC}{AC} \), pero si queremos \( AB \), la hipotenusa, entonces \( \sin(25^\circ) = \frac{BC}{AB} \implies AB = \frac{BC}{\sin(25^\circ)} \approx \frac{2}{0.4226} \approx 4.73 \). Wait, pero quizás es el cateto adyacente. Wait, no, \( \angle A = 25^\circ \), el cateto opuesto es \( BC \), el cateto adyacente es \( AC \), la hipotenusa es \( AB \). Entonces \( \sin(25^\circ) = \frac{BC}{AB} \implies AB = \frac{BC}{\sin(25^\circ)} \approx \frac{2}{0.4226} \approx 4.73 \). Otra forma: si \( BC = 2 \) es el cateto adyacente a \( \angle B \), pero no. Wait, quizás es \( \tan(25^\circ) = \frac{AB}{BC} \)? No, \( \tan(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \). Si \( \angle B = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \), entonces \( \tan(65^\circ) = \frac{AC}{BC} \), no. Wait, me confundo. Vamos a reidentificar:

- \( \angle C = 90^\circ \) (ángulo recto en \( C \))
- \( BC = 2 \) (lado \( BC \), entre \( B \) y \( C \))
- \( \angle A = 25^\circ \) (ángulo en \( A \))

Entonces, el cateto opuesto a \( \angle A \) es \( BC = 2 \) (porque \( \angle A \) mira a \( BC \))
El cateto adyacente a \( \angle A \) es \( AC \)
La hipotenusa es \( AB \)

Entonces, \( \sin(\angle A) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{BC}{AB} \)

Así que \( \sin(25^\circ) = \frac{2}{AB} \implies AB = \frac{2}{\sin(25^\circ)} \)

Calculamos \( \sin(25^\circ) \approx 0.4226 \)

Entonces \( AB \approx \frac{2}{0.4226} \approx 4.73 \)

Wait, pero quizás es \( \tan(25^\circ) = \frac{AB}{BC} \)? No, \( \tan(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \), así que \( \tan(25^\circ) = \frac{BC}{AC} \), no \( AB \). Entonces la primera forma es correcta: \( AB = \frac{2}{\sin(25^\circ)} \approx 4.73 \).

Answer:

\( AB \approx 4.73 \) (redondeado a la centésima)