Question

1. \

$$\begin{cases} 3x_1 - 2x_2 + x_3 = 1, \\\\ -7x_1 + 7x_2 - 2x_3 = 5, \\\\ 7x_1 - 8x_2 + 3x_3 = -6, \\\\ 3x_1 - 3x_2 + x_3 = -2 \\end{cases}$$

Explanation:

Step1: 标记方程组

我们有如下线性方程组：

$$
LATEXBLOCK0
$$

Step2: 消元化简

首先，用\((1)\)式和\((4)\)式相减消去部分变量：
\((1)-(4)\)得：\((3x_1 - 2x_2 + x_3)-(3x_1 - 3x_2 + x_3)=1-(-2)\)

$$
LATEXBLOCK1
$$

Step3: 代入\(x_2 = 3\)到其他方程

将\(x_2 = 3\)代入\((2)\)式：\(-7x_1 + 7\times3 - 2x_3 = 5\)，即\(-7x_1 - 2x_3 = 5 - 21=-16\)，整理得\(7x_1 + 2x_3 = 16\) \((2)'\)
将\(x_2 = 3\)代入\((3)\)式：\(7x_1 - 8\times3 + 3x_3 = -6\)，即\(7x_1 + 3x_3 = -6 + 24 = 18\) \((3)'\)

Step4: 求解\(x_1\)和\(x_3\)

用\((3)'- (2)'\)得：\((7x_1 + 3x_3)-(7x_1 + 2x_3)=18 - 16\)

$$
LATEXBLOCK2
$$

将\(x_3 = 2\)代入\((2)'\)式：\(7x_1 + 2\times2 = 16\)，即\(7x_1 = 16 - 4 = 12\)，解得\(x_1=\frac{12}{7}\)？不对，这里计算错误，重新计算：
将\(x_3 = 2\)代入\((2)'\)式：\(7x_1 + 2\times2 = 16\)，\(7x_1=16 - 4 = 12\)？不，\(2\times2 = 4\)，\(16 - 4 = 12\)，\(x_1=\frac{12}{7}\)？但我们再检查\((1)\)式，将\(x_1=\frac{12}{7}\)，\(x_2 = 3\)，\(x_3 = 2\)代入\((1)\)式：
左边\(=3\times\frac{12}{7}-2\times3 + 2=\frac{36}{7}-6 + 2=\frac{36}{7}-4=\frac{36 - 28}{7}=\frac{8}{7}
eq1\)，说明前面消元有误。重新来：

正确的消元：
用\((2)\)式和\((3)\)式相加：\((-7x_1 + 7x_2 - 2x_3)+(7x_1 - 8x_2 + 3x_3)=5+(-6)\)

$$
LATEXBLOCK3
$$

用\((1)\)式和\((4)\)式相减：\((3x_1 - 2x_2 + x_3)-(3x_1 - 3x_2 + x_3)=1-(-2)\)

$$
LATEXBLOCK4
$$

哦，刚才第一步相减计算错误，\(1-(-2)=3\)，所以\(x_2 = 3\)。
将\(x_2 = 3\)代入\((5)\)式，得\(x_3 = 3 - 1 = 2\)。
将\(x_2 = 3\)，\(x_3 = 2\)代入\((1)\)式：\(3x_1 - 2\times3 + 2 = 1\)，即\(3x_1 - 6 + 2 = 1\)，\(3x_1 - 4 = 1\)，\(3x_1 = 5\)，解得\(x_1=\frac{5}{3}\)。
现在验证\((2)\)式：\(-7\times\frac{5}{3}+7\times3 - 2\times2=-\frac{35}{3}+21 - 4=-\frac{35}{3}+17=\frac{-35 + 51}{3}=\frac{16}{3}
eq5\)，还是错误，说明方程组可能有问题或者我计算错了。
重新检查方程组，原方程组是：

$$
LATEXBLOCK5
$$

用\((2)+(3)\)得：\((-7x_1 + 7x_2 - 2x_3)+(7x_1 - 8x_2 + 3x_3)=5 + (-6)\)，即\(-x_2 + x_3=-1\)，\(x_3 = x_2 - 1\) \((5)\)
用\((1)-(4)\)得：\((3x_1 - 2x_2 + x_3)-(3x_1 - 3x_2 + x_3)=1 - (-2)\)，即\(x_2 = 3\)，正确，因为\(1 - (-2)=3\)。
所以\(x_2 = 3\)，代入\((5)\)得\(x_3 = 2\)。
代入\((1)\)：\(3x_1 - 6 + 2 = 1\)，\(3x_1 = 5\)，\(x_1=\frac{5}{3}\)。
代入\((2)\)：\(-7\times\frac{5}{3}+21 - 4=-\frac{35}{3}+17=\frac{-35 + 51}{3}=\frac{16}{3}
eq5\)，说明方程组是矛盾的？或者我哪里错了？
再检查\((4)\)式，代入\(x_1=\frac{5}{3}\)，\(x_2 = 3\)，\(x_3 = 2\)，左边\(=3\times\frac{5}{3}-9 + 2=5 - 9 + 2=-2\)，符合\((4)\)式。
\((2)\)式左边\(=-7\times\frac{5}{3}+21 - 4=-\frac{35}{3}+17=\frac{16}{3}\)，右边是\(5=\frac{15}{3}\)，不相等，所以这个方程组无解？因为四个方程，三个未知数，可能是矛盾的。

Answer:

该线性方程组无解，因为将\(x_2 = 3\)，\(x_3 = x_2 - 1 = 2\)代入\((2)\)式时，左右两边不相等（左边为\(\frac{16}{3}\)，右边为\(5=\frac{15}{3}\)），而代入\((1)\)和\((4)\)式是成立的，\((2)\)式不成立，故方程组无解。