Question

c) r = t(2t² - 3)³ ; \frac{dt}{dr}

Explanation:

Step1: Appliquer la règle de la chaîne et la règle du produit

Soit \(u = t\) et \(v=(2t^{2}-3)^{3}\). La règle du produit est \(\frac{dr}{dt}=u'v + uv'\). La dérivée de \(u=t\) est \(u' = 1\). Pour trouver \(v'\), on utilise la règle de la chaîne. Soit \(w = 2t^{2}-3\), alors \(v = w^{3}\). La dérivée de \(v\) par rapport à \(t\) est \(v'=\frac{dv}{dw}\cdot\frac{dw}{dt}\). \(\frac{dv}{dw}=3w^{2}\) et \(\frac{dw}{dt}=4t\), donc \(v' = 3(2t^{2}-3)^{2}\cdot4t=12t(2t^{2}-3)^{2}\).

Step2: Calculer \(\frac{dr}{dt}\)

\(\frac{dr}{dt}=1\cdot(2t^{2}-3)^{3}+t\cdot12t(2t^{2}-3)^{2}=(2t^{2}-3)^{3}+12t^{2}(2t^{2}-3)^{2}\)
Factoriser \((2t^{2}-3)^{2}\) : \(\frac{dr}{dt}=(2t^{2}-3)^{2}[(2t^{2}-3)+12t^{2}]=(2t^{2}-3)^{2}(14t^{2}-3)\)

Step3: Calculer \(\frac{dt}{dr}\)

Puisque \(\frac{dt}{dr}=\frac{1}{\frac{dr}{dt}}\), on a \(\frac{dt}{dr}=\frac{1}{(2t^{2}-3)^{2}(14t^{2}-3)}\)

Answer:

\(\frac{dt}{dr}=\frac{1}{(2t^{2}-3)^{2}(14t^{2}-3)}\)