Question

15 multiple choice 1 point use substitution to solve the linear - quadratic system of equations. \\(\

$$\begin{cases}y = -x^2 - x - 2 \\\\ y = -x - 3\\end{cases}$$

\\) a) \\(\

$$\begin{matrix}(1, 4) \\\\ (-1, 2)\\end{matrix}$$

\\) c) \\(\

$$\begin{matrix}(4, 1) \\\\ (2, -1)\\end{matrix}$$

\\) b) \\(\

$$\begin{matrix}(-1, -2) \\\\ (1, -4)\\end{matrix}$$

\\) d) \\(\

$$\begin{matrix}(1, -4) \\\\ (-1, 2)\\end{matrix}$$

\\) \\(\bigcirc\\) a \\(\bigcirc\\) b \\(\bigcirc\\) c \\(\bigcirc\\) d clear my selection

Explanation:

Step1: Sustituir \( y = -x - 3 \) en \( y = -x^2 - x - 2 \)

\( -x - 3 = -x^2 - x - 2 \)

Step2: Simplificar la ecuación

Sumar \( x \) a ambos lados: \( -3 = -x^2 - 2 \)
Sumar \( x^2 + 2 \) a ambos lados: \( x^2 - 1 = 0 \)
Factorizar: \( (x - 1)(x + 1) = 0 \)

Step3: Resolver para \( x \)

\( x - 1 = 0 \) o \( x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = 1 \) o \( x = -1 \)

Step4: Encontrar \( y \) para cada \( x \)

• Para \( x = 1 \): \( y = -1 - 3 = -4 \) ⇒ \( (1, -4) \)
• Para \( x = -1 \): \( y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2 \)? Espera, no, error. Espera, \( y = -x - 3 \), si \( x = -1 \), \( y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2 \)? Pero en la opción B, es \( (-1, -2) \) y \( (1, -4) \). Espera, volvamos.

Wait, en el paso 2, cuando sustituimos:

\( -x - 3 = -x^2 - x - 2 \)

Sumar \( x \) a ambos lados: \( -3 = -x^2 - 2 \)

Sumar \( x^2 + 2 \): \( x^2 - 1 = 0 \) ⇒ \( x^2 = 1 \) ⇒ \( x = 1 \) o \( x = -1 \)

Ahora, para \( x = 1 \): \( y = -1 - 3 = -4 \) ⇒ \( (1, -4) \)

Para \( x = -1 \): \( y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2 \) ⇒ \( (-1, -2) \)

Entonces las soluciones son \( (1, -4) \) y \( (-1, -2) \), que es la opción B? Wait, no, la opción B es \( (-1, -2) \) y \( (1, -4) \). Sí. Pero espera, en la opción D, es \( (1, -4) \) y \( (-1, 2) \). Wait, cometí un error en el cálculo de \( y \) para \( x = -1 \).

Wait, la ecuación lineal es \( y = -x - 3 \). Si \( x = -1 \), entonces \( y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2 \). Correcto. Entonces las soluciones son \( (1, -4) \) y \( (-1, -2) \), que es la opción B.

Wait, pero en la opción B: B) \( (-1, -2) \) \( (1, -4) \). Sí. Entonces la respuesta es B.

Answer:

B. \( (-1, -2) \) \( (1, -4) \)