Question

write the following quotient in simplest form.
\\(\frac{6\sqrt3{1620}}{\sqrt3{-20}}\\)
\\(\frac{6\sqrt3{1620}}{\sqrt3{-20}} = \square\\)
(simplify your answer. type an exact answer, using radicals as needed)

Explanation:

Step1: Simplificar el cociente de raíces cúbicas

Recordamos que \(\frac{a\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{c}} = a\sqrt[3]{\frac{b}{c}}\) (si \(c
eq0\)). Aquí, \(a = 6\), \(b = 1620\) y \(c=- 20\), entonces:
\(\frac{6\sqrt[3]{1620}}{\sqrt[3]{-20}}=6\sqrt[3]{\frac{1620}{-20}}\)

Step2: Simplificar la fracción dentro de la raíz cúbica

Calculamos \(\frac{1620}{-20}=-81\), entonces la expresión se convierte en:
\(6\sqrt[3]{-81}\)

Step3: Factorizar - 81 dentro de la raíz cúbica

Sabemos que \(-81=-27\times3\), y \(\sqrt[3]{-27}=-3\) (porque \((-3)^3=-27\)). Entonces:
\(6\sqrt[3]{-27\times3}=6\times\sqrt[3]{-27}\times\sqrt[3]{3}\)

Step4: Sustituir \(\sqrt[3]{-27}\)

Como \(\sqrt[3]{-27}=-3\), entonces:
\(6\times(-3)\times\sqrt[3]{3}=-18\sqrt[3]{3}\)

Answer:

\(-18\sqrt[3]{3}\)