Question

write the conditional and converse for the statement. determine the truth values of the conditionals and converses. if false, find a counterexample. write a true biconditional statement if possible.
the game will be cancelled if it is raining.
conditional: if it is raining, then the game will be cancelled. the conditional is true.
converse: if the game is cancelled, then it is raining. counterexample: the game could be cancelled, and it is not raining.
the converse is false. because the converse is true, a true biconditional statement cannot be written.

Explanation:

Step1: Conditional statement

La estructura general de una declaración condicional es "Si \(p\), entonces \(q\)". Aquí, \(p\) es "it is raining" (está lloviendo) y \(q\) es "the game will be cancelled" (el juego se cancelará). La declaración condicional es: "If it is raining, then the game will be cancelled". Esta es verdadera porque se asume que la lluvia es una razón para cancelar el juego.

Step2: Converse statement

La estructura de la conversa de "Si \(p\), entonces \(q\)" es "Si \(q\), entonces \(p\)". Entonces, la conversa es: "If the game is cancelled, then it is raining". Esta es falsa. Un contraejemplo es cuando el juego se cancela por otro motivo, como un accidente en el campo, y no está lloviendo. Esto muestra que la conclusión de la conversa ("it is raining") no se sigue necesariamente de la hipótesis ("the game is cancelled").

Step3: Biconditional statement

Una declaración bicondicional es " \(p\) si y solo si \(q\)" y es verdadera solo si tanto la declaración condicional como su conversa son verdaderas. Dado que la conversa es falsa, no se puede escribir una declaración bicondicional verdadera.

Answer:

Conditional: If it is raining, then the game will be cancelled. The conditional is true.
Converse: If the game is cancelled, then it is raining. Counterexample: The game could be cancelled, and it is not raining. The converse is false. Because the converse is false, a true biconditional statement cannot be written.