Question

which pair of transformations is the same as a reflection across the y - axis?
a a rotation of 90° counter - clockwise and a reflection across the x - axis
b a rotation of 90° clockwise and a reflection across the y - axis
c a rotation of 180° and a reflection across the x - axis
d a rotation of 180° and a reflection across the y - axis

Explanation:

Step 1: Escribir la matriz de reflexión sobre el eje \( y \)

La matriz de reflexión sobre el eje \( y \) es \(

$$\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}$$

\).

Step 2: Escribir la matriz de rotación de \( 180^{\circ} \)

La matriz de rotación de \( 180^{\circ} \) es \(

$$\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$

\).

Step 3: Escribir la matriz de reflexión sobre el eje \( x \)

La matriz de reflexión sobre el eje \( x \) es \(

$$\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$

\).

Step 4: Multiplicar las matrices de rotación de \( 180^{\circ} \) y reflexión sobre el eje \( x \)

Multiplicamos las matrices \(

$$\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$

\times

$$\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$

=

$$\begin{bmatrix}-1\times1 + 0\times0&-1\times0+0\times(-1)\\0\times1+(-1)\times0&0\times0+(-1)\times(-1)\end{bmatrix}$$

=

$$\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}$$

\).

Answer:

C. a rotation of \( 180^{\circ} \) and a reflection across the \( x \)-axis