Question

what is the solution of $\frac{x - 2}{2}+\frac{2}{x}=\frac{2x + 1}{2x}$?
a. 1 or -1
b. -0.5 only
c. 3 or 1
d. 3 or -3

Explanation:

Step1: Eliminar denominadores

Multiplicar ambos lados de la ecuación $\frac{x - 2}{2}+\frac{2}{x}=\frac{2x + 1}{2x}$ por el mínimo común denominador, que es $2x$ (teniendo en cuenta que $x
eq0$).
$$2x\cdot\frac{x - 2}{2}+2x\cdot\frac{2}{x}=2x\cdot\frac{2x + 1}{2x}$$
Simplificar cada término:

• Para el primer término: $2x\cdot\frac{x - 2}{2}=x(x - 2)=x^{2}-2x$
• Para el segundo término: $2x\cdot\frac{2}{x}=4$
• Para el tercer término: $2x\cdot\frac{2x + 1}{2x}=2x + 1$

Así, la ecuación se convierte en:
$$x^{2}-2x + 4=2x + 1$$

Step2: Reordenar en ecuación cuadrática

Restar $2x + 1$ de ambos lados para obtener una ecuación cuadrática en forma estándar:
$$x^{2}-2x + 4-(2x + 1)=0$$
Simplificar:
$$x^{2}-2x + 4 - 2x - 1=0$$
$$x^{2}-4x + 3=0$$

Step3: Factorizar la ecuación cuadrática

Factorizar $x^{2}-4x + 3$:
Buscamos dos números que sumen $-4$ y se multipliquen para $3$. Estos números son $-1$ y $-3$.
Así, $x^{2}-4x + 3=(x - 1)(x - 3)=0$

Step4: Resolver para x

Igualar cada factor a cero:

• $x - 1=0\Rightarrow x = 1$
• $x - 3=0\Rightarrow x = 3$

Ahora, debemos verificar que estos valores no hagan que el denominador de la ecuación original sea cero. Para $x = 1$ y $x = 3$, $x
eq0$, por lo que ambos son válidos. Pero esperamos, ¿algún error? Wait, volvamos. Wait, en el paso 1, al multiplicar por $2x$, pero quizás me equivoqué. Wait, no, volvamos a revisar.

Wait, la ecuación original es $\frac{x - 2}{2}+\frac{2}{x}=\frac{2x + 1}{2x}$. Al sustituir $x = 1$:

Izquierda: $\frac{1 - 2}{2}+\frac{2}{1}=\frac{-1}{2}+2=\frac{3}{2}$

Derecha: $\frac{2(1)+1}{2(1)}=\frac{3}{2}$. Válido.

Al sustituir $x = 3$:

Izquierda: $\frac{3 - 2}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3 + 4}{6}=\frac{7}{6}$

Derecha: $\frac{2(3)+1}{2(3)}=\frac{7}{6}$. Válido.

Wait, pero las opciones son A. 1 o -1, B. -0.5 only, C. 3 o 1, D. 3 o -3. Entonces la solución es $x = 1$ o $x = 3$, que es la opción C.

Wait, pero en mi factorización tuve $(x - 1)(x - 3)=0$, lo que da $x = 1$ o $x = 3$, que es la opción C.

Answer:

C. 3 or 1