Question

use the interactive graph below to sketch a graph of $y = 4\log_{2}(x + 6) - 8$. place the asymptote before placing the two points.

Explanation:

Step1: Encontrar la asíntota vertical

Para la función logarítmica \( y = a\log_b(x - h) + k \), la asíntota vertical es \( x = h \) (pero en nuestra función es \( x + 6 \), así que \( x = -6 \)).
Asíntota vertical: \( x = -6 \)

Step2: Encontrar puntos de la gráfica

Punto 1: Cuando \( x + 6 = 1 \) (ya que \( \log_b(1) = 0 \))

Resolviendo \( x + 6 = 1 \), tenemos \( x = 1 - 6 = -5 \)
Sustituir \( x = -5 \) en la función: \( y = 4\log_2(-5 + 6) - 8 = 4\log_2(1) - 8 = 4(0) - 8 = -8 \)
Punto: \( (-5, -8) \)

Punto 2: Cuando \( x + 6 = 2 \) (ya que \( \log_2(2) = 1 \))

Resolviendo \( x + 6 = 2 \), tenemos \( x = 2 - 6 = -4 \)
Sustituir \( x = -4 \) en la función: \( y = 4\log_2(-4 + 6) - 8 = 4\log_2(2) - 8 = 4(1) - 8 = -4 \)
Punto: \( (-4, -4) \)

(Nota: También se pueden usar otros valores, pero estos son fáciles de calcular. La gráfica se dibuja con la asíntota en \( x = -6 \) y los puntos calculados.)

Answer:

Asíntota vertical: \( x = -6 \)
Puntos: \( (-5, -8) \) y \( (-4, -4) \) (o otros puntos válidos calculados)