Question

universidade técnica de moçambique
direcção académica

disciplina: investigação operacional
data: 16/06/2026
exame normal
duração: 120min

leia atentamente as questões e responda com muita clareza

1. um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapato, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objectivo é maximizar seu lucro por hora. (6.0)

1. resolva pelo método de simplex o seguinte problema de programação linear: (6.0)

maximizar \\(z = 3x_1 + 5x_2\\)
sujeita a \\(\

$$\begin{cases} 2x_1 + 4x_2 \\le 10 \\\\ 6x_1 + x_2 \\le 20 \\\\ x_1 - x_2 \\le 30 \\\\ x_1 \\ge 0 \\\\ x_2 \\ge 0 \\end{cases}$$

\\)

1. transformar o modelo primal para o dual depois passe a forma padrão (8.0)

\\(min z = 15x_1 + 11x_2 + 6x_3\\)
s.a \\(\

$$\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 \\ge 10 \\\\ 2x_1 + 5x_2 - x_3 \\ge 12 \\\\ 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 \\le 15 \\\\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 10 \\end{cases}$$

\\)
\\(x_1 \le 0; x_2 \le 0; x_3 \ge 0\\)

Explanation:

Formulación del modelo de producción

Using the Programación Lineal knowledge point

$$
LATEXBLOCK0
$$

Resolución mediante el método Simplex

Using the Método Simplex knowledge point

$$
LATEXBLOCK1
$$

Transformación al modelo Dual

Using the Dualidad en Programación Lineal knowledge point

$$
LATEXBLOCK2
$$

Conversión del Dual a la forma estándar

Using the Programación Lineal knowledge point

$$
LATEXBLOCK3
$$

Answer:

Question 1

El modelo matemático de programación lineal para maximizar el lucro por hora es:

• Variables de decisión:
• \(x_1\): Fracción de hora dedicada a la producción de zapatos por hora.
• \(x_2\): Fracción de hora dedicada a la producción de cintos por hora.

• Función objetivo:

$$\text{Maximizar } Z = 30x_1 + 10x_2$$

• Restricciones:

$$
LATEXBLOCK0
$$

---

Question 2

La solución óptima obtenida mediante el método Simplex es:

• \(x_1 = 0\)
• \(x_2 = 2.5\)
• \(Z = 12.5\)

---

Question 3

Modelo Dual

• Función objetivo:

$$\text{Maximizar } W = 10y_1 + 12y_2 + 15y_3 + 10y_4$$

• Restricciones:

$$
LATEXBLOCK1
$$

Con: \(y_1 \ge 0\), \(y_2 \ge 0\), \(y_3 \le 0\), \(y_4\) libre.

Forma Estándar del Dual

Definiendo \(y_3 = -y_3'\) (con \(y_3' \ge 0\)), \(y_4 = y_4^+ - y_4^-\) (con \(y_4^+, y_4^- \ge 0\)), e introduciendo las variables de exceso/holgura \(s_1, s_2, s_3 \ge 0\):

• Función objetivo:

$$\text{Maximizar } W = 10y_1 + 12y_2 - 15y_3' + 10y_4^+ - 10y_4^-$$

• Restricciones:

$$
LATEXBLOCK2
$$

Con todas las variables no negativas: \(y_1, y_2, y_3', y_4^+, y_4^-, s_1, s_2, s_3 \ge 0\).