Question

1. une fonction valeur absolue est définie par léquation suivante : $f(x) = -|4x - 20| + 16$. sachant que dans le plan cartésien les unités sont en cm, quelle est laire du triangle délimitée par la courbe de cette fonction et laxe des x ?

Explanation:

Step1: Trouver les intercepts avec l'axe des x

Pour trouver les intercepts avec l'axe des x, on pose \( f(x) = 0 \) :

$$ -\vert 4x - 20 \vert + 16 = 0 $$

$$ \vert 4x - 20 \vert = 16 $$

Cela donne deux équations :

1. \( 4x - 20 = 16 \)

$$ 4x = 36 \implies x = 9 $$

1. \( 4x - 20 = -16 \)

$$ 4x = 4 \implies x = 1 $$

Donc, les points d'interception avec l'axe des x sont \( (1, 0) \) et \( (9, 0) \). La longueur du segment entre ces deux points (base du triangle) est \( 9 - 1 = 8 \) cm.

Step2: Trouver le sommet de la fonction

La fonction \( f(x) = -\vert 4x - 20 \vert + 16 \) est une fonction en valeur absolue ouverte vers le bas. Le sommet se trouve où l'argument de la valeur absolue est nul, c'est-à-dire \( 4x - 20 = 0 \implies x = 5 \). En substituant \( x = 5 \) dans \( f(x) \) :

$$ f(5) = -\vert 4(5) - 20 \vert + 16 = 16 $$

Donc, le sommet est \( (5, 16) \). La hauteur du triangle (distance du sommet à l'axe des x) est 16 cm.

Step3: Calculer l'aire du triangle

La formule de l'aire d'un triangle est \( A = \frac{1}{2} \times base \times hauteur \).

$$ A = \frac{1}{2} \times 8 \times 16 $$

$$ A = 64 $$

Answer:

L'aire du triangle est de \( \boxed{64} \) \( cm^2 \).