Question

solving a real - world problem
the gravitational force formula is $f = \frac{gm_1m_2}{r^2}$, where $f$ is the force between two objects, $g$ is the constant of gravitation, $m_1$ is the mass of the first object, $m_2$ is the mass of the second object, and $r$ is the distance between the objects. by rewriting the formula as $r = \sqrt{\frac{gm_1m_2}{f}}$, you can find the distance between objects. which of the following gives the distance, $r$, in simplest form?
$r = \frac{\sqrt{gm_1m_2f}}{f}$
$r = \sqrt{gm_1m_2f}$
$r = \frac{\sqrt{gm_1m_2}}{f}$

Explanation:

Step1: Simplificar la fracción dentro de la raíz

Tenemos la fórmula \( r = \sqrt{\frac{Gm_1m_2}{F}} \). Para simplificar, podemos racionalizar el denominador o expresar la raíz de la fracción como la fracción de las raíces. Recuerda que \( \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) para \( a\geq0 \) y \( b > 0 \).

Step2: Multiplicar numerador y denominador por \( \sqrt{F} \)

Para eliminar la raíz del denominador, multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción dentro de la raíz por \( F \) (o más precisamente, multiplicamos la fracción \( \frac{Gm_1m_2}{F} \) por \( \frac{F}{F} \) dentro de la raíz para racionalizar):

$$ r=\sqrt{\frac{Gm_1m_2}{F}}=\sqrt{\frac{Gm_1m_2\times F}{F\times F}}=\sqrt{\frac{Gm_1m_2F}{F^2}} $$

Step3: Simplificar la raíz

Como \( \sqrt{\frac{a}{b^2}}=\frac{\sqrt{a}}{b} \) para \( b>0 \), entonces:

$$ \sqrt{\frac{Gm_1m_2F}{F^2}}=\frac{\sqrt{Gm_1m_2F}}{F} $$

Answer:

\( r = \frac{\sqrt{Gm_1m_2F}}{F} \) (la primera opción)