Question

solución de ecuaciones exponenciales de varios pasos
resolver: $243^{-y} = \left(\frac{1}{243}\
ight)^{3y} \cdot 9^{-2y}$
$y = 1$
no hay solución
$y = -1$
$y = 0$

Explanation:

Step1: Expresar bases como potencias de 3

Sabemos que \( 243 = 3^5 \), \( \frac{1}{243} = 3^{-5} \) y \( 9 = 3^2 \). Reemplazamos en la ecuación:
\( (3^5)^{-y} = (3^{-5})^{3y} \cdot (3^2)^{-2y} \)

Step2: Aplicar la propiedad de exponentes \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)

Simplificamos cada término:

• Izquierda: \( 3^{-5y} \)
• Derecha: \( 3^{-15y} \cdot 3^{-4y} \)

Step3: Aplicar la propiedad de exponentes \( a^m \cdot a^n = a^{m + n} \) en la derecha

Sumamos los exponentes en la multiplicación:
\( 3^{-15y - 4y} = 3^{-19y} \)

Step4: Igualar exponentes (ya que bases son iguales y la función exponencial es inyectiva)

Tenemos \( 3^{-5y} = 3^{-19y} \), entonces los exponentes deben ser iguales:
\( -5y = -19y \)

Step5: Resolver la ecuación lineal

Sumamos \( 19y \) a ambos lados:
\( 14y = 0 \)
Dividimos por 14:
\( y = 0 \)

Answer:

\( y = 0 \) (la opción con \( y = 0 \))