Question

question
express $40^{\frac{1}{3}}$ in simplest radical form.

answer attempt 1 out of 5

Explanation:

Step1: Recall the exponent - radical relationship

Recuerda que \(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\), donde \(a\) es la base y \(n\) es el índice del radical. Para \(40^{\frac{1}{3}}\), por la regla de exponentes y radicales, tenemos que \(40^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{40}\).

Step2: Factorizar el radicando

Factoriza \(40\) en sus factores primos. Sabemos que \(40 = 8\times5\), y \(8=2^{3}\). Entonces, \(\sqrt[3]{40}=\sqrt[3]{8\times5}\).

Step3: Aplicar la propiedad del radical \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}\)

Aplicando la propiedad \(\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}\) (donde \(n = 3\), \(a = 8\) y \(b=5\)), tenemos \(\sqrt[3]{8\times5}=\sqrt[3]{8}\times\sqrt[3]{5}\).

Step4: Simplificar \(\sqrt[3]{8}\)

Como \(8 = 2^{3}\), entonces \(\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^{3}} = 2\).

Step5: Escribir la forma simplificada

Sustituyendo \(\sqrt[3]{8}=2\) en la expresión anterior, tenemos \(2\times\sqrt[3]{5}=2\sqrt[3]{5}\).

Answer:

\(2\sqrt[3]{5}\)