Question

5.(7 pts.) compute \\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{\sin(5x)} \\).\
(a) \\( \frac{7}{5} \\)\
(b) 0\
(c) 1\
(d) does not exist.\
(e) \\( \frac{5}{7} \\)

Explanation:

Step1: 利用重要极限变形

我们知道重要极限\(\lim_{u \to 0}\frac{\sin u}{u}=1\)，所以将原式\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin(7x)}{\sin(5x)}\)变形为\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin(7x)}{7x}\cdot\frac{5x}{\sin(5x)}\cdot\frac{7x}{5x}\)。

Step2: 拆分极限并计算

根据极限的运算法则\(\lim_{x \to a}(f(x)\cdot g(x)\cdot h(x))=\lim_{x \to a}f(x)\cdot\lim_{x \to a}g(x)\cdot\lim_{x \to a}h(x)\)，分别计算各部分极限：

• 对于\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin(7x)}{7x}\)，令\(u = 7x\)，当\(x \to 0\)时，\(u \to 0\)，所以\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin(7x)}{7x}=\lim_{u \to 0}\frac{\sin u}{u}=1\)。
• 对于\(\lim_{x \to 0}\frac{5x}{\sin(5x)}\)，令\(v = 5x\)，当\(x \to 0\)时，\(v \to 0\)，所以\(\lim_{x \to 0}\frac{5x}{\sin(5x)}=\lim_{v \to 0}\frac{v}{\sin v}=1\)（因为\(\lim_{v \to 0}\frac{\sin v}{v}=1\)，其倒数极限也为\(1\)）。
• 对于\(\lim_{x \to 0}\frac{7x}{5x}\)，约分后得\(\lim_{x \to 0}\frac{7}{5}=\frac{7}{5}\)。

将这三部分极限相乘：\(1\times1\times\frac{7}{5}=\frac{7}{5}\)。

Answer:

(a) \(\boldsymbol{\frac{7}{5}}\)