Question

practice 8 (from unit 3, lesson 14)
elena is proving the pythagorean theorem. she knows the goal is to prove that ( a^2 + b^2 = c^2 ) in a right triangle. so far she has:
image of a right triangle with altitude h, segments x, y on hypotenuse c, and legs a, b
fill in the blanks.
type your answers in the boxes.
in a right triangle the altitude that intersects the hypotenuse decomposes the triangle into 2 smaller right triangles.
these triangles are similar to the large triangle by the angle-angle triangle similarity theorem since each smaller triangle shares one angle with the larger triangle and has a right angle. similar triangles have proportional side lengths, so (\boxed{}) and (\boxed{}). i can rewrite those equations to get ( a^2 = xc ) and ( b^2 = yc ). therefore ( a^2 + b^2 = )

Explanation:

Step 1: Analizar la semejanza de triángulos

Dado que los triángulos son semejantes, las razones de los lados correspondientes son iguales. Para el triángulo con hipotenusa \(a\) (en el triángulo pequeño) y el triángulo grande con hipotenusa \(c\) y cateto \(x\) (el segmento del hipotenusa adyacente al cateto \(a\)), la proporción es \(\frac{a}{c}=\frac{x}{a}\). Al cross - multiplicar, obtenemos \(a^{2}=c\cdot x\) (que se escribe como \(a^{2}=xc\) en el problema).

Step 2: Proporción para el otro triángulo

Para el otro triángulo pequeño con hipotenusa \(b\) y el triángulo grande con hipotenusa \(c\) y cateto \(y\) (el otro segmento del hipotenusa), la proporción de los lados correspondientes es \(\frac{b}{c}=\frac{y}{b}\). Al cross - multiplicar, obtenemos \(b^{2}=c\cdot y\) (que se escribe como \(b^{2}=yc\) en el problema).

Step 3: Sumar las ecuaciones

Tenemos \(a^{2}=xc\) y \(b^{2}=yc\). Al sumarlas, \(a^{2}+b^{2}=xc + yc\). Pero \(x + y=c\) (ya que \(x\) y \(y\) son los segmentos en los que se divide el hipotenusa \(c\) por la altura), entonces \(xc+yc=c(x + y)=c\cdot c=c^{2}\). Entonces, para las proporciones iniciales, las ecuaciones de semejanza son \(\frac{a}{c}=\frac{x}{a}\) y \(\frac{b}{c}=\frac{y}{b}\), y al sumar \(a^{2}\) y \(b^{2}\), tenemos \(a^{2}+b^{2}=xc + yc=c(x + y)=c^{2}\).

Para los espacios en blanco:

• El primer espacio (correspondiente a la proporción para \(a\)): \(\frac{a}{c}=\frac{x}{a}\)
• El segundo espacio (correspondiente a la proporción para \(b\)): \(\frac{b}{c}=\frac{y}{b}\)
• El último espacio (para \(a^{2}+b^{2}\)): \(c^{2}\) (ya que \(a^{2}+b^{2}=xc + yc=c(x + y)=c\cdot c = c^{2}\))

Answer:

• Primer espacio: \(\boldsymbol{\frac{a}{c}=\frac{x}{a}}\)
• Segundo espacio: \(\boldsymbol{\frac{b}{c}=\frac{y}{b}}\)
• Tercer espacio (para \(a^{2}+b^{2}\)): \(\boldsymbol{c^{2}}\)