Question

2 (6 points) résolvez chaque équation.
a) $-4|x - 17| + 23 = 3$
b) $22 = 4\sqrt{x + 12} - 6$
c) $\frac{46}{x + 9} - 7 = -5$

Explanation:

Partie a) Résolution de \(-4|x - 17| + 23 = 3\)

Step 1: Isoler la valeur absolue

On commence par isoler l'expression avec la valeur absolue. On soustrait 23 des deux côtés de l'équation :

$$ -4|x - 17| + 23 - 23 = 3 - 23 $$

$$ -4|x - 17| = -20 $$

Ensuite, on divise les deux côtés par \(-4\) :

$$ |x - 17| = \frac{-20}{-4} $$

$$ |x - 17| = 5 $$

Step 2: Résoudre la valeur absolue

La valeur absolue \(|A| = B\) (où \(B \geq 0\)) a pour solutions \(A = B\) ou \(A = -B\). Ici, \(A = x - 17\) et \(B = 5\), donc :

• Cas 1 : \(x - 17 = 5\)

On ajoute 17 des deux côtés :

$$ x = 5 + 17 $$

$$ x = 22 $$

• Cas 2 : \(x - 17 = -5\)

On ajoute 17 des deux côtés :

$$ x = -5 + 17 $$

$$ x = 12 $$

Step 1: Isoler la racine carrée

On commence par isoler l'expression avec la racine carrée. On ajoute 6 des deux côtés de l'équation :

$$ 22 + 6 = 4\sqrt{x + 12} - 6 + 6 $$

$$ 28 = 4\sqrt{x + 12} $$

Ensuite, on divise les deux côtés par 4 :

$$ \sqrt{x + 12} = \frac{28}{4} $$

$$ \sqrt{x + 12} = 7 $$

Step 2: Élever au carré les deux côtés

Pour éliminer la racine carrée, on élève les deux côtés de l'équation au carré :

$$ (\sqrt{x + 12})^2 = 7^2 $$

$$ x + 12 = 49 $$

On soustrait 12 des deux côtés :

$$ x = 49 - 12 $$

$$ x = 37 $$

Step 3: Vérifier la solution

On vérifie si \(x = 37\) satisfait l'équation initiale (car l'élevage au carré peut introduire des solutions extranées) :

• Côté gauche : \(22\)
• Côté droit : \(4\sqrt{37 + 12} - 6 = 4\sqrt{49} - 6 = 4 \times 7 - 6 = 28 - 6 = 22\)

La solution est valide.

Step 1: Isoler la fraction

On commence par isoler la fraction. On ajoute 7 des deux côtés de l'équation :

$$ \frac{46}{x + 9} - 7 + 7 = -5 + 7 $$

$$ \frac{46}{x + 9} = 2 $$

Step 2: Résoudre pour \(x\)

On multiplie les deux côtés par \(x + 9\) (en supposant \(x
eq -9\) pour éviter la division par zéro) :

$$ 46 = 2(x + 9) $$

On divise les deux côtés par 2 :

$$ 23 = x + 9 $$

On soustrait 9 des deux côtés :

$$ x = 23 - 9 $$

$$ x = 14 $$

Step 3: Vérifier la solution

On vérifie si \(x = 14\) satisfait l'équation initiale :

• Côté gauche : \(\frac{46}{14 + 9} - 7 = \frac{46}{23} - 7 = 2 - 7 = -5\)
• Côté droit : \(-5\)

La solution est valide (et \(x = 14
eq -9\), donc pas de problème de division par zéro).

Answer:

(Partie a) :
Les solutions sont \(x = 12\) et \(x = 22\).

Partie b) Résolution de \(22 = 4\sqrt{x + 12} - 6\)