Question

part 3: looking for patterns
complete the table. look for patterns that could help you find slope from any two points.

two points | change in y | change in x | slope of line
--- | --- | --- | ---
1a 2. (2, 2), (4, 4) | 2 | 2 | 2/2 = 1
1b 3. (1, 2), (2, 1) | -1 | 1 | rise/run = -1/1 = -1
1c 4. (2, 3), (4, 4) | 4 - 3 = 1 | 4 - 2 = 2 | rise/run = 1/2
1d 5. (-3, 4), (1, 2) | 3 - (1) = 4 | 2 |
1e 6. (-4, -1), (-2, 3) | | |
1f 7. | | |

1. (-4, 0), (0, 1) | | |
2. (-3, 4), (6, -2) | | |
3. (-4, 2), (8, -1) | | |
4. (-6, -1), (3, 5) | | |
5. (-5, 7), (10, -5) | | |
6. (0, 1), (4, 1) | | |
7. (-4, -2), (-3, -6) | | |

part 4: pattern analysis

1. what patterns do you notice in the table?

a pattern that i noticed is

1. when is the slope positive? when is it negative?

when the slope is positive
when the slope is negative

1. based on the patterns, can you write a rule or formula for finding slope from any two points?

Explanation:

Step1: Completar la tabla (usando la fórmula de pendiente \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \))

1c. Puntos (2, 3), (4, 4)

• Cambio en \( y \): \( 4 - 3 = 1 \)
• Cambio en \( x \): \( 4 - 2 = 2 \)
• Pendiente: \( \frac{1}{2} \)

1d. Puntos (-3, 4), (1, 2)

• Cambio en \( y \): \( 2 - 4 = -2 \)
• Cambio en \( x \): \( 1 - (-3) = 4 \)
• Pendiente: \( \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)

1e. Puntos (-4, -1), (-2, 3)

• Cambio en \( y \): \( 3 - (-1) = 4 \)
• Cambio en \( x \): \( -2 - (-4) = 2 \)
• Pendiente: \( \frac{4}{2} = 2 \)

8. Puntos (-4, 0), (0, 1)

• Cambio en \( y \): \( 1 - 0 = 1 \)
• Cambio en \( x \): \( 0 - (-4) = 4 \)
• Pendiente: \( \frac{1}{4} \)

9. Puntos (-3, 4), (6, -2)

• Cambio en \( y \): \( -2 - 4 = -6 \)
• Cambio en \( x \): \( 6 - (-3) = 9 \)
• Pendiente: \( \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3} \)

10. Puntos (-4, 2), (8, -1)

• Cambio en \( y \): \( -1 - 2 = -3 \)
• Cambio en \( x \): \( 8 - (-4) = 12 \)
• Pendiente: \( \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} \)

11. Puntos (-6, -1), (3, 5)

• Cambio en \( y \): \( 5 - (-1) = 6 \)
• Cambio en \( x \): \( 3 - (-6) = 9 \)
• Pendiente: \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)

12. Puntos (-5, 7), (10, -5)

• Cambio en \( y \): \( -5 - 7 = -12 \)
• Cambio en \( x \): \( 10 - (-5) = 15 \)
• Pendiente: \( \frac{-12}{15} = -\frac{4}{5} \)

13. Puntos (0, 1), (4, 1)

• Cambio en \( y \): \( 1 - 1 = 0 \)
• Cambio en \( x \): \( 4 - 0 = 4 \)
• Pendiente: \( \frac{0}{4} = 0 \)

14. Puntos (-4, -2), (-3, -6)

• Cambio en \( y \): \( -6 - (-2) = -4 \)
• Cambio en \( x \): \( -3 - (-4) = 1 \)
• Pendiente: \( \frac{-4}{1} = -4 \)

Step2: Análisis de patrones (Parte 4)

1. Patrones en la tabla

• La pendiente se calcula como \( \frac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x} \) (diferencia de \( y \) sobre diferencia de \( x \)).
• Cuando cambio en \( y \) y cambio en \( x \) tienen el mismo signo, la pendiente es positiva; si tienen signos opuestos, la pendiente es negativa.

2. Pendiente positiva y negativa

• Positiva: Cuando \( y \) aumenta a medida que \( x \) aumenta (cambio en \( y \) y cambio en \( x \) ambos positivos o ambos negativos, es decir, \( \frac{+}{+} \) o \( \frac{-}{-} \)).
• Negativa: Cuando \( y \) disminuye a medida que \( x \) aumenta (cambio en \( y \) y cambio en \( x \) tienen signos opuestos, es decir, \( \frac{+}{-} \) o \( \frac{-}{+} \)).

3. Fórmula de la pendiente

Dados dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \), la pendiente \( m \) es:
\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Answer:

Tabla completada (ejemplos clave):

• 1c: Cambio en \( y = 1 \), Cambio en \( x = 2 \), Pendiente \( \frac{1}{2} \)
• 1d: Cambio en \( y = -2 \), Cambio en \( x = 4 \), Pendiente \( -\frac{1}{2} \)
• 1e: Cambio en \( y = 4 \), Cambio en \( x = 2 \), Pendiente \( 2 \)
• 8: Cambio en \( y = 1 \), Cambio en \( x = 4 \), Pendiente \( \frac{1}{4} \)
• 9: Cambio en \( y = -6 \), Cambio en \( x = 9 \), Pendiente \( -\frac{2}{3} \)
• 10: Cambio en \( y = -3 \), Cambio en \( x = 12 \), Pendiente \( -\frac{1}{4} \)
• 11: Cambio en \( y = 6 \), Cambio en \( x = 9 \), Pendiente \( \frac{2}{3} \)
• 12: Cambio en \( y = -12 \), Cambio en \( x = 15 \), Pendiente \( -\frac{4}{5} \)
• 13: Cambio en \( y = 0 \), Cambio en \( x = 4 \), Pendiente \( 0 \)
• 14: Cambio en \( y = -4 \), Cambio en \( x = 1 \), Pendiente \( -4 \)

Parte 4:

1. Patrón: La pendiente se calcula como \( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \); el signo de la pendiente depende del signo del cambio en \( y \) y cambio en \( x \).
2. Positiva: \( y \) aumenta con \( x \) (cambios en \( y \) y \( x \) mismos signos). Negativa: \( y \) disminuye con \( x \) (cambios en \( y \) y \( x \) signos opuestos).
3. Fórmula: \( \boldsymbol{m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}} \) (donde \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) son dos puntos en la recta).