Question

multiply. write your answer in simplest form. \\(\frac{6c^2 + 7c + 1}{2c^2 - 3c - 2} \cdot (4c^2 + 4c + 1)\\)

Explanation:

Step1: Factoriser les polynômes

Factoriser \(6c^2 + 7c + 1\) : On cherche deux nombres dont le produit est \(6\times1 = 6\) et la somme est \(7\). Ces nombres sont \(6\) et \(1\). Donc, \(6c^2 + 7c + 1 = 6c^2 + 6c + c + 1 = 6c(c + 1) + 1(c + 1) = (6c + 1)(c + 1)\).

Factoriser \(2c^2 - 3c - 2\) : On cherche deux nombres dont le produit est \(2\times(-2)= -4\) et la somme est \(-3\). Ces nombres sont \(-4\) et \(1\). Donc, \(2c^2 - 3c - 2 = 2c^2 - 4c + c - 2 = 2c(c - 2) + 1(c - 2) = (2c + 1)(c - 2)\).

Factoriser \(4c^2 + 4c + 1\) : C'est un carré parfait, \(4c^2 + 4c + 1 = (2c + 1)^2\).

Step2: Simplifier la fraction

La multiplication devient :

$$ \frac{(6c + 1)(c + 1)}{(2c + 1)(c - 2)} \cdot (2c + 1)^2 $$

On peut simplifier \(2c + 1\) dans le numérateur et le dénominateur :

$$ \frac{(6c + 1)(c + 1)(2c + 1)}{c - 2} $$

Step3: Multiplier les termes restants

Multiplier \((6c + 1)(c + 1)\) :

$$ (6c + 1)(c + 1) = 6c^2 + 6c + c + 1 = 6c^2 + 7c + 1 $$

Ensuite, multiplier par \((2c + 1)\) :

$$ (6c^2 + 7c + 1)(2c + 1) = 6c^2(2c) + 6c^2(1) + 7c(2c) + 7c(1) + 1(2c) + 1(1) = 12c^3 + 6c^2 + 14c^2 + 7c + 2c + 1 = 12c^3 + 20c^2 + 9c + 1 $$

Donc, la fraction simplifiée est \(\frac{(12c^3 + 20c^2 + 9c + 1)}{c - 2}\) (ou on peut écrire le produit avant la division si on préfère, mais la forme simplifiée est obtenue en simplifiant les facteurs communs d'abord).

Attendez, il y a une erreur dans l'étape 2. Réétudions :

Revenons à la multiplication initiale :

$$ \frac{6c^2 + 7c + 1}{2c^2 - 3c - 2} \cdot (4c^2 + 4c + 1) = \frac{(6c + 1)(c + 1)}{(2c + 1)(c - 2)} \cdot (2c + 1)^2 $$

Simplifier \(2c + 1\) donne :

$$ \frac{(6c + 1)(c + 1)(2c + 1)}{c - 2} $$

Maintenant, multiplier \((6c + 1)(c + 1)(2c + 1)\) :

D'abord, \((c + 1)(2c + 1) = 2c^2 + 2c + c + 1 = 2c^2 + 3c + 1\)

Ensuite, multiplier par \((6c + 1)\) :

$$ (6c + 1)(2c^2 + 3c + 1) = 6c(2c^2) + 6c(3c) + 6c(1) + 1(2c^2) + 1(3c) + 1(1) = 12c^3 + 18c^2 + 6c + 2c^2 + 3c + 1 = 12c^3 + 20c^2 + 9c + 1 $$

Donc, la fraction est \(\frac{12c^3 + 20c^2 + 9c + 1}{c - 2}\) ou on peut écrire la forme simplifiée après la simplification des facteurs :

Alternativement, en simplifiant correctement :

La multiplication est :

$$ \frac{(6c + 1)(c + 1)}{(2c + 1)(c - 2)} \times (2c + 1)^2 = (6c + 1)(c + 1)(2c + 1) \times \frac{1}{c - 2} $$

Donc, le résultat simplifié est \(\frac{(6c + 1)(c + 1)(2c + 1)}{c - 2}\) ou en multipliant les termes : \(\frac{(12c^3 + 20c^2 + 9c + 1)}{c - 2}\).

Answer:

\(\frac{(6c + 1)(c + 1)(2c + 1)}{c - 2}\) (ou \(\frac{12c^3 + 20c^2 + 9c + 1}{c - 2}\))