Question

lines m and n are parallel. they are intersected by the transversals, p a
m
n
p
q
what is the value of x?
a. 52
b. 73
c. 86
d. 107

Explanation:

Step1: Analizar ángulos en línea recta

En la transversal \( q \), los ángulos \( 73^\circ \) y \( 107^\circ \) suman \( 73 + 107 = 180^\circ \), confirmando que son ángulos suplementarios (línea recta).

Step2: Usar ángulos alternos internos

Como \( m \parallel n \) y \( p \) es transversal, el ángulo de \( 52^\circ \) y el ángulo suplementario a \( x \) (en \( m \))? No, mejor: la suma de ángulos en el paralelismo. Wait, calculamos el ángulo en \( m \) con la transversal \( q \). El ángulo adyacente a \( 107^\circ \) en \( m \) es \( 180 - 107 = 73^\circ \)? No, wait, la transversal \( q \) forma \( 73^\circ \) en \( m \) y \( 107^\circ \) en \( n \). Ahora, con la transversal \( p \), los ángulos en \( m \) y \( n \): el ángulo en \( n \) es \( 52^\circ \), y en \( m \) es \( x \). Pero también, la suma de ángulos en el paralelismo: la suma de los ángulos formados por las transversales. Wait, otra forma: la suma de \( 52^\circ \), el ángulo entre \( p \) y \( q \) en \( n \), y el ángulo de \( 107^\circ \)? No, mejor: calculamos \( x \) como \( 180 - (52 + (180 - 107)) \)? No, wait, vamos a calcular el ángulo en \( m \) entre \( p \) y \( q \). Primero, en la línea \( n \), los ángulos formados por \( p \) y \( q \): \( 52^\circ \), y el ángulo entre \( p \) y \( q \) en \( n \) es \( 180 - 52 - (180 - 107) \)? No, esto es complicado. Wait, la clave es que la suma de los ángulos en el paralelismo: \( x + 52 + (180 - 107) = 180 \)? Wait, \( 180 - 107 = 73 \), entonces \( x + 52 + 73 = 180 \)? No, \( 52 + 73 = 125 \), \( 180 - 125 = 55 \)? No, eso no es. Wait, error. Vamos de nuevo:

La transversal \( q \) corta a \( m \) y \( n \), formando \( 73^\circ \) en \( m \) y \( 107^\circ \) en \( n \). La diferencia es \( 107 - 73 = 34 \)? No. Wait, la transversal \( p \) corta a \( m \) (ángulo \( x \)) y \( n \) (ángulo \( 52^\circ \)). La suma de \( x \), \( 52^\circ \), y el ángulo entre \( p \) y \( q \) en \( m \) y \( n \) debe ser \( 180 \). Wait, el ángulo entre \( p \) y \( q \) en \( n \) es \( 180 - 52 - (180 - 107) \)? \( 180 - 107 = 73 \), entonces \( 180 - 52 - 73 = 55 \)? No, no. Wait, la solución correcta: \( x = 180 - (52 + (180 - 107)) \)? No, \( 180 - 107 = 73 \), \( 52 + 73 = 125 \), \( 180 - 125 = 55 \)? No, eso no está en las opciones. Wait, las opciones son 52,73,86,107. Wait, quizás el ángulo \( x \) es igual a \( 180 - 52 - (180 - 107) \)? No, \( 180 - 107 = 73 \), \( 52 + 73 = 125 \), \( 180 - 125 = 55 \) no. Wait, error en el razonamiento. Vamos a usar la propiedad de ángulos alternos internos o la suma de ángulos en un triángulo? No, es un paralelogramo de ángulos. Wait, la transversal \( q \) forma en \( m \) un ángulo de \( 73^\circ \) y en \( n \) \( 107^\circ \), que son suplementarios (73 + 107 = 180), correcto. Ahora, con la transversal \( p \), el ángulo en \( n \) es \( 52^\circ \), y en \( m \) es \( x \). La suma de \( x \), \( 52^\circ \), y el ángulo de \( 73^\circ \) (de la transversal \( q \))? No, \( x + 52 + (180 - 107) = 180 \)? \( 180 - 107 = 73 \), entonces \( x + 52 + 73 = 180 \)? \( x = 180 - 125 = 55 \)? No. Wait, la opción C es 86. ¿Cómo? \( 180 - 52 - (180 - 107) = 180 - 52 - 73 = 55 \)? No. Wait, quizás el ángulo en \( m \) es \( 180 - (52 + (180 - 107)) \)? No, \( 180 - 107 = 73 \), \( 52 + 73 = 125 \), \( 180 - 125 = 55 \). No. Wait, la pregunta es errada? No, la solución correcta: \( x = 180 - 52 - (180 - 107) \)? No, wait, el ángulo entre \( p \) y \( q \) en \( n \) es \( 180 - 52 - 107 = 21 \)? No, 52 + 107 = 159, 180 - 159 = 21. Entonces en \( m \), el ángulo entre \( p \) y \( q \) es también 21 (por paralelismo). Entonces \( x + 21 + 73 = 180 \)? \( x = 180 - 21 - 73 = 86 \). Ah! Sí, así: en la línea \( n \), los ángulos formados por \( p \) y \( q \) son \( 52^\circ \), \( 107^\circ \), y el tercer ángulo (entre \( p \) y \( q \)) es \( 180 - 52 - 107 = 21^\circ \). Como \( m \parallel n \), el ángulo entre \( p \) y \( q \) en \( m \) es también \( 21^\circ \) (alternos internos). Luego, en la línea \( m \), los ángulos formados por \( p \), \( q \), y la horizontal: \( x + 21 + 73 = 180 \) (porque \( 73^\circ \) es el ángulo de \( q \) en \( m \)). Entonces \( x = 180 - 21 - 73 = 86 \).

Step3: Confirmar la opción

La opción C es 86, que es el valor de \( x \).

Answer:

C. 86