Question

lim_{x→0} (e^{tan x} - e^{sin x}) / (x - sin x)

Explanation:

Step1: 提取公因式

$$\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{e^{\tan x}-e^{\sin x}}{x - \sin x}&=\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}(e^{\tan x-\sin x}-1)}{x - \sin x} \end{align*}$$

当$x\to0$时，$e^{u}-1\sim u$（$u = \tan x-\sin x$），则$e^{\tan x-\sin x}-1\sim\tan x-\sin x$。

Step2: 等价无穷小替换

$$\begin{align*} &\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}(e^{\tan x-\sin x}-1)}{x - \sin x}\\ =&\lim_{x\to0}e^{\sin x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x - \sin x}\\ =&\lim_{x\to0}e^{\sin x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x(\frac{1}{\cos x}-1)}{x - \sin x}\\ =&\lim_{x\to0}e^{\sin x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x(1 - \cos x)}{(x - \sin x)\cos x} \end{align*}$$

当$x\to0$时，$1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^{2}$。

Step3: 再次等价无穷小替换并化简

$$\begin{align*} &\lim_{x\to0}e^{\sin x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x(1 - \cos x)}{(x - \sin x)\cos x}\\ =&\lim_{x\to0}e^{\sin x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x\cdot\frac{1}{2}x^{2}}{(x - \sin x)\cos x}\\ =&\lim_{x\to0}e^{\sin x}\cdot\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{x^{3}}{x - \sin x} \end{align*}$$

使用洛必达法则，对$\lim_{x\to0}\frac{x^{3}}{x - \sin x}$分子分母同时求导。

Step4: 洛必达法则求极限

$$\begin{align*} \frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{x^{3}}{x - \sin x}&=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{3x^{2}}{1-\cos x}\\ &=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{3x^{2}}{\frac{1}{2}x^{2}}\\ &= 3 \end{align*}$$

又因为$\lim_{x\to0}e^{\sin x}=e^{0}=1$。

Answer:

$3$