Question

1. ladministration dun hôpital estime quenviron

n = \frac{\sqrt3{x^{4}}}{4000} personnes
seront traitées chaque mois au service des urgences si la population desservie par cet hôpital est de x
habitants. sachant que la population croît au taux de 120 habitants par mois, quel sera le taux de
croissance par rapport au temps du nombre de personnes traitées au service des urgences de lhôpital
lorsque la population passera à 125 000 habitants.

Explanation:

Step1: Dérivée de \(N\) par rapport à \(t\)

On a \(N=\frac{\sqrt[3]{x^{4}}}{4000}=\frac{x^{\frac{4}{3}}}{4000}\). En utilisant la règle de la chaîne \(\frac{dN}{dt}=\frac{dN}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\).
La dérivée de \(N\) par rapport à \(x\) est \(\frac{dN}{dx}=\frac{4}{3\times4000}x^{\frac{1}{3}}=\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3000}\).
On sait que \(\frac{dx}{dt} = 120\).

Step2: Calcul de \(\frac{dN}{dt}\) pour \(x = 125000\)

On remplace \(x = 125000\) dans \(\frac{dN}{dt}=\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3000}\cdot\frac{dx}{dt}\).
Puisque \(x = 125000=125\times1000 = 5^{3}\times10^{3}\), alors \(x^{\frac{1}{3}}=(5^{3}\times10^{3})^{\frac{1}{3}} = 5\times10 = 50\).
Alors \(\frac{dN}{dt}=\frac{50}{3000}\times120\).

Step3: Simplification

\(\frac{dN}{dt}=\frac{50\times120}{3000}=\frac{6000}{3000}=2\).

Answer:

Le taux de croissance par rapport au temps du nombre de personnes traitées au service des urgences est de \(2\) personnes par mois.