Question

the image shows a geometric diagram with two triangles, \\(\triangle fab\\) and \\(\triangle fde\\), where line segments \\(ab\\) and \\(ed\\) are parallel. the given lengths are:

• the total length of segment \\(fe\\) is \\(4\\).
• the length of segment \\(fb\\) is \\(3\\).
• the length of segment \\(ab\\) is \\(2x - 1\\).
• the length of segment \\(ed\\) is \\(2 + x\\).

Explanation:

Identificar os triângulos semelhantes

Os segmentos \(AB\) e \(DE\) são paralelos, pois estão sobre as linhas paralelas do caderno. Assim, os triângulos \(\triangle FAB\) e \(\triangle FED\) são semelhantes pelo caso Ângulo-Ângulo (AA).

Estabelecer a razão de semelhança

Usando a Proporcionalidade Geométrica dos lados correspondentes dos triângulos semelhantes:

$$\frac{FB}{FE} = \frac{AB}{ED}$$

Substituir os valores conhecidos

Do diagrama, temos:

• \(FB = 3\)
• \(FE = 4\)
• \(AB = 2x - 1\)
• \(ED = 2 + x\)

Substituindo na proporção:

$$\frac{3}{4} = \frac{2x - 1}{2 + x}$$

Resolver a equação para \(x\)

Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

$$3(2 + x) = 4(2x - 1)$$

$$6 + 3x = 8x - 4$$

$$6 + 4 = 8x - 3x$$

$$10 = 5x$$

$$x = 2$$

Answer:

\(x = 2\)