Question

guided practice
inverse relations and functions
which of the following is the domain and range of the function ( h(x) = 3x + 2 ) and its inverse?
a.

	domain	range
inverse	( x geq 2 )	all real numbers

b.

	domain	range
inverse	( x geq 2 )	( y geq 3 )

c.

	domain	range
inverse	all real numbers	all real numbers

d.

	domain	range
inverse	( x geq 2 )	all real numbers

Explanation:

Step1: Analizar la función \( h(x) = 3x + 2 \)

La función \( h(x) = 3x + 2 \) es una función lineal. Para funciones lineales de la forma \( f(x)=mx + b \) (donde \( m \) y \( b \) son números reales y \( m
eq0 \)), el dominio (conjunto de valores de \( x \) para los que la función está definida) es todos los números reales, ya que no hay restricciones (como raíces cuadradas de números negativos o divisiones por cero) que limiten \( x \). El rango (conjunto de valores de \( y \) que la función puede tomar) también es todos los números reales, porque al variar \( x \) sobre todos los números reales, \( y = 3x + 2 \) también varía sobre todos los números reales (la pendiente \( m = 3 \) es no nula, por lo que la función es sobreyectiva sobre los reales).

Step2: Encontrar la inversa de \( h(x) \)

Para encontrar la inversa de \( h(x) = 3x + 2 \):

1. Intercambiar \( x \) e \( y \): \( x = 3y + 2 \)
2. Resolver para \( y \):

• Restar 2 de ambos lados: \( x - 2 = 3y \)
• Dividir por 3: \( y=\frac{x - 2}{3}=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} \)

La inversa \( h^{-1}(x)=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} \) también es una función lineal. Similar a la función original, no hay restricciones en el dominio (puede tomar cualquier valor de \( x \) real) y el rango también es todos los números reales (ya que es una función lineal con pendiente no nula).

Step3: Comparar con las opciones

• Opción A: El dominio de la función se dice "all real numbers", pero el rango de la función se dice \( y\geq2 \), lo cual es incorrecto (el rango de \( h(x)=3x + 2 \) es todos los reales).
• Opción B: El dominio de la función se dice \( x\geq3 \) y el rango \( x\geq2 \), lo cual no es cierto para \( h(x)=3x + 2 \) (su dominio es todos los reales).
• Opción D: El dominio de la función se dice \( x\geq2 \), lo cual no es cierto (el dominio de \( h(x)=3x + 2 \) es todos los reales).
• Opción C: El dominio y el rango de la función, así como de su inversa, se indican como "all real numbers", lo cual coincide con nuestro análisis de las funciones lineales \( h(x) \) y \( h^{-1}(x) \).

Answer:

C.

	Function	Inverse
Range	all real numbers	all real numbers