Question

graph each equation.

1. \\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\\)

coordinate plane with x-axis from -8 to 8 and y-axis from -8 to 8, grid lines

Explanation:

Step1: 识别椭圆标准方程

椭圆的标准方程有两种形式：当长轴在\(x\)轴上时，\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt b\gt0\)）；当长轴在\(y\)轴上时，\(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)（\(a\gt b\gt0\)），其中\(a\)是半长轴，\(b\)是半短轴，中心在原点\((0,0)\)。对于方程\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)，可变形为\(\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)，这里\(a = 3\)，\(b = 2\)，因为\(a^2 = 9\)对应\(y^2\)项，\(b^2 = 4\)对应\(x^2\)项，所以长轴在\(y\)轴上。

Step2: 确定顶点和共顶点

• 长轴顶点（在\(y\)轴上）：当\(x = 0\)时，代入方程\(\frac{0^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)，解得\(y^2 = 9\)，即\(y=\pm3\)，所以顶点为\((0, 3)\)和\((0, -3)\)。
• 短轴顶点（在\(x\)轴上）：当\(y = 0\)时，代入方程\(\frac{x^2}{4}+\frac{0^2}{9}=1\)，解得\(x^2 = 4\)，即\(x=\pm2\)，所以共顶点为\((2, 0)\)和\((-2, 0)\)。

Step3: 绘制椭圆

在坐标系中，标记出顶点\((0, 3)\)、\((0, -3)\)和共顶点\((2, 0)\)、\((-2, 0)\)，然后用平滑的曲线连接这些点，形成以原点为中心，长轴在\(y\)轴上，半长轴为\(3\)，半短轴为\(2\)的椭圆。

Answer:

该方程\(\boldsymbol{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1}\)表示一个以原点为中心，长轴在\(y\)轴上，半长轴\(a = 3\)，半短轴\(b = 2\)的椭圆。顶点为\((0, \pm3)\)，共顶点为\((\pm2, 0)\)，根据这些点在给定的网格坐标系中绘制出椭圆（图略，实际绘制时连接\((0, 3)\)、\((2, 0)\)、\((0, -3)\)、\((-2, 0)\)并平滑曲线）。