Question

given rhombus fghi below. if m∠hij = 52°, find m∠fij. answer attempt 1 out of 3 m∠fij =

Explanation:

Step1: 菱形对角线性质

菱形的对角线互相垂直吗？不，菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角？不对，菱形的对角线互相垂直，并且平分一组对角？不，菱形的对角线互相垂直，且对角线平分内角，同时对角线相交成的角中，邻角互补？不对，重新想：菱形的对角线互相垂直吗？是的，菱形的对角线互相垂直，即对角线相交形成的角是直角？不，不对，菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。另外，菱形的对角线相交，形成的角中，比如本题中，H、J、F在同一直线上吗？看图形，H、J、F应该在一条直线上，G、J、I在一条直线上，所以HJF是对角线，GIJ是另一条对角线，所以∠HIJ和∠FIJ的关系：因为H、J、F共线，所以∠HIJ + ∠FIJ = 180°？不对，因为菱形的对角线互相垂直吗？不，菱形的对角线互相垂直，所以∠HJI是直角？不对，题目中∠HIJ=52°，要求∠FIJ。哦，H、J、F在同一直线上，所以∠HIJ和∠FIJ是邻补角，因为它们有公共顶点I，公共边IJ，且HJ和FJ在同一直线上，所以∠HIJ + ∠FIJ = 180°？不对，因为如果是菱形的对角线，那么HJ和FI的关系？不，看图形，H、J、F在一条水平线上，G、J、I在一条垂直线上，所以∠HIJ是在I点，由H到J到I的角，∠FIJ是由F到J到I的角，所以HJ和FJ是同一直线，所以∠HIJ和∠FIJ是邻补角，和为180°？不对，因为如果J是对角线的交点，那么HJ=JF，IJ是另一条对角线的一部分。哦，不对，菱形的对角线互相垂直，所以∠HJI是90°？不，题目中∠HIJ=52°，所以应该是∠HIJ和∠FIJ的和是90°？不对，重新分析：菱形的对角线互相垂直，所以∠HJI=90°？不，∠HIJ是三角形HIJ的一个角？不，H、J、F共线，所以∠HIJ和∠FIJ是邻补角吗？不，H-J-F是一条直线，所以∠HIJ + ∠FIJ = 180°？但这样的话，如果∠HIJ=52°，∠FIJ=128°？不对，可能我错了。哦，菱形的对角线平分内角，且对角线互相垂直。所以∠HIJ和∠FIJ的关系：因为IJ是对角线，平分∠HIF？不，HIF是菱形的一个内角，对角线平分这个内角吗？不，菱形的对角线平分一组对角，所以如果∠HIF是一个内角，对角线IJ（假设IJ是对角线）平分它？不，H、J、F在一条对角线上，G、J、I在另一条对角线上，所以∠HIJ和∠FIJ是在对角线交点J处的角，且因为菱形的对角线互相垂直，所以∠HJI=90°？不对，题目中∠HIJ=52°，所以∠FIJ=90°-52°=38°？哦，对！因为菱形的对角线互相垂直，所以∠HJI=90°？不，∠HIJ + ∠FIJ=90°？因为对角线互相垂直，所以∠HJI=90°，所以在三角形HIJ中，∠HIJ + ∠FIJ=90°？不对，应该是∠HIJ和∠FIJ的和是90°吗？不，菱形的对角线互相垂直，所以∠HJI=90°，所以∠HIJ + ∠FIJ=90°？因为H-J-F是一条直线，G-J-I是另一条直线，且两条对角线垂直，所以∠HJI=90°，所以∠HIJ + ∠FIJ=90°？哦，对！因为对角线互相垂直，所以∠HJI=90°，所以∠HIJ + ∠FIJ=90°，所以∠FIJ=90°-52°=38°？不对，这时候如果∠HIJ=52°，那么∠FIJ=90°-52°=38°？或者因为菱形的对角线互相垂直，所以∠HIJ和∠FIJ互余？

哦，正确的分析：菱形的对角线互相垂直，所以∠HJI=90°（因为对角线相交成直角）。在点I，H-J-F是一条直线，所以∠HIJ和∠FIJ的和是90°吗？不，H-J-F是水平对角线，G-J-I是垂直对角线，所以∠HIJ是在I点，由H到J到I的角，∠FIJ是由F到J到I的角，而J是两条对角线的交点，所以HJ⊥GI，所以∠HJI=90°，所以∠HIJ + ∠FIJ=90°？因为∠HIJ + ∠FIJ + ∠HJI=180°？不，三角形的内角和是180°，但H-J-F是直线，所以∠HIJ和∠FIJ在直线HF上，所以它们的和应该是180°？这时候我混乱了。重新看图形：H、J、F在一条直线上（水平对角线），G、J、I在一条直线上（垂直对角线），所以∠HIJ是角在I，边是IH、IJ，∠FIJ是角在I，边是IF、IJ，而IH和IF是菱形的邻边，所以IH=IF（菱形的边相等），IJ是对角线的一部分，且HF和GI是对角线，互相垂直，所以∠HJI=90°，所以在三角形HIJ中，∠HIJ + ∠IHJ=90°，但∠FIJ呢？因为HF是直线，所以∠HIJ + ∠FIJ=180°？不对，因为H-J-F是直线，所以∠HIJ和∠FIJ是邻补角，和为180°，但这样的话∠FIJ=180-52=128°，但这和菱形对角线垂直矛盾。哦，可能我看错了角的位置。∠HIJ的顶点是I，边是H-I-J？不，角的表示是∠HIJ，所以顶点是I，边是H-I和J-I，所以H-I-J，即从H到I到J的角，所以I是顶点，H和J是边上的点。所以H-I-J，J-I-F，所以H-I-J和J-I-F的和是∠H-I-F，而H-I-F是菱形的一个内角，菱形的对角线平分这个内角吗？不，菱形的对角线平分内角，所以如果HF是对角线，那么HF平分∠H和∠F，GI平分∠G和∠I。所以∠H-I-F是内角，HF是对角线，所以∠H-I-J和∠J-I-F相等？不，不对，因为GI是另一条对角线，垂直于HF，所以∠HIJ和∠FIJ的和是90°？哦，现在我明白了，因为GI和HF是对角线，互相垂直，所以∠HJI=90°，所以在三角形HIJ中，∠HIJ + ∠FIJ=90°？不，∠HIJ是52°，所以∠FIJ=90-52=38°？因为GI⊥HF，所以∠HJI=90°，所以∠HIJ + ∠FIJ=90°，因为它们在直角三角形中？不对，∠HIJ和∠FIJ是在I点，由J-I分别到H和F，所以如果GI⊥HF，那么∠HIJ + ∠FIJ=90°，所以∠FIJ=90-52=38°。对，因为对角线互相垂直，所以∠HJI=90°，所以∠HIJ + ∠FIJ=90°，所以∠FIJ=90°-52°=38°。

Step2: 计算∠FIJ

因为菱形的对角线互相垂直，所以∠HIJ + ∠FIJ = 90°（因为它们在直角三角形中，或者因为对角线垂直，形成的角为直角，所以这两个角互余）。已知∠HIJ=52°，所以∠FIJ=90° - 52° = 38°。

Answer:

38°