Question

1. the function (f) is not differentiable at (x = 5). which of the following statements must be true?

(a) (f) is not continuous at (x = 5).

(b) (\lim_{x \to 5} f(x)) does not exist.

(c) (\lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5}) does not exist.

(d) (\int_{0}^{5} f(x) \\, dx) does not exist.

Explanation:

理解可导性的定义

Using the Differentiability Definition knowledge point

$$ f'(5) = \lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5} $$

若函数 \(f\) 在 \(x = 5\) 处不可导，则该极限不存在。

分析选项 A 和 B

若函数在某点不可导，它在该点仍可能是连续的（例如 \(f(x) = |x-5|\) 在 \(x=5\) 处连续但不可导）。
因此，\(f\) 在 \(x=5\) 处不一定不连续，极限 \(\lim_{x \to 5} f(x)\) 也不一定不存在。
选项 A 和 B 不一定为真。

分析选项 C

根据步骤一中可导性的定义，\(f\) 在 \(x = 5\) 处不可导等价于极限 \(\lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5}\) 不存在。
因此，选项 C 必须为真。

分析选项 D

一个函数在某点不可导并不影响其在包含该点的区间上的可积性。例如 \(f(x) = |x-5|\) 在 \([0, 5]\) 上是可积的。
因此，选项 D 不一定为真。

Answer:

• (A) \(f\) is not continuous at \(x = 5\).
• (B) \(\lim_{x\to5} f(x)\) does not exist.
• (C) \(\lim_{x\to5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5}\) does not exist. (Correct answer)
• (D) \(\int_{0}^{5} f(x) dx\) does not exist.