Question

four sets of systems of linear equations are given in the table below. determine whether each system of linear equations has intersecting lines, parallel lines, or same line. system of linear equations

	intersecting lines	parallel lines	same line

| $\

$$\begin{cases} y = 4x - 1 \\\\ y = -x + 4 \\end{cases}$$

$ | $\square$ | $\square$ | $\square$ |
| $\

$$\begin{cases} y = 3 - 2x \\\\ y = -2x + 8 \\end{cases}$$

$ | $\square$ | $\square$ | $\square$ |
| $\

$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\\\ y = -4x - 1 \\end{cases}$$

$ | $\square$ | $\square$ | $\square$ |
| $\

$$\begin{cases} y = 3x + 5 \\\\ y = 5 + 3x \\end{cases}$$

$ | $\square$ | $\square$ | $\square$ |

Explanation:

Step1: Analizar pendientes (m) y ordenadas al origen (b)

Las ecuaciones lineales en forma \( y = mx + b \) tienen pendiente \( m \) y ordenada al origen \( b \). Dos líneas:

• Intersectantes: \( m_1

eq m_2 \) (se cortan en un punto).

• Paralelas: \( m_1 = m_2 \) y \( b_1

eq b_2 \) (no se cortan).

• Misma línea: \( m_1 = m_2 \) y \( b_1 = b_2 \) (coinciden).

Sistema 1: \(

$$\begin{cases} y = 4x - 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}$$

\)

• \( m_1 = 4 \), \( m_2 = -1 \). \( m_1

eq m_2 \) → Intersectantes.

Sistema 2: \(

$$\begin{cases} y = 3 - 2x \\ y = -2x + 8 \end{cases}$$

\)

• Reescribir: \( y = -2x + 3 \) y \( y = -2x + 8 \). \( m_1 = -2 \), \( m_2 = -2 \); \( b_1 = 3 \), \( b_2 = 8 \). \( m_1 = m_2 \) y \( b_1

eq b_2 \) → Paralelas.

Sistema 3: \(

$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -4x - 1 \end{cases}$$

\)

• \( m_1 = 2 \), \( m_2 = -4 \). \( m_1

eq m_2 \) → Intersectantes.

Sistema 4: \(

$$\begin{cases} y = 3x + 5 \\ y = 5 + 3x \end{cases}$$

\)

• Reescribir: \( y = 3x + 5 \) y \( y = 3x + 5 \). \( m_1 = 3 \), \( m_2 = 3 \); \( b_1 = 5 \), \( b_2 = 5 \) → Misma línea.

Step2: Marcar casillas

• Sistema 1: Marcar "Intersecting Lines".
• Sistema 2: Marcar "Parallel Lines".
• Sistema 3: Marcar "Intersecting Lines".
• Sistema 4: Marcar "Same Line".

Answer:

• Sistema \( \boldsymbol{

$$\begin{cases} y = 4x - 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}$$

} \): Marcar casilla de "Intersecting Lines".

• Sistema \( \boldsymbol{

$$\begin{cases} y = 3 - 2x \\ y = -2x + 8 \end{cases}$$

} \): Marcar casilla de "Parallel Lines".

• Sistema \( \boldsymbol{

$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -4x - 1 \end{cases}$$

} \): Marcar casilla de "Intersecting Lines".

• Sistema \( \boldsymbol{

$$\begin{cases} y = 3x + 5 \\ y = 5 + 3x \end{cases}$$

} \): Marcar casilla de "Same Line".

(En la tabla, marcar las casillas correspondientes según el análisis de cada sistema.)