Question

find the volume of the solid.

Explanation:

Step1: Dividir el sólido en dos prismas rectangulares

Primero, identificamos dos prismas rectangulares en el sólido. El primer prisma tiene dimensiones \( 2 \, \text{ft} \times 4 \, \text{ft} \times 6 \, \text{ft} \). El segundo prisma se obtiene restando las dimensiones del primer prisma de las dimensiones totales: la longitud total es \( 7 \, \text{ft} \), y la longitud del primer prisma es \( 2 \, \text{ft} \), pero en realidad, el segundo prisma tiene una altura de \( 2 \, \text{ft} \), una longitud de \( 7 \, \text{ft} \) y una profundidad de \( 4 \, \text{ft} \), pero debemos considerar la parte que no se superpone. Wait, mejor: el sólido se puede dividir en dos prismas: uno con dimensiones \( 2 \, \text{ft} \times 4 \, \text{ft} \times 6 \, \text{ft} \) y otro con dimensiones \( (7 - 2) \, \text{ft} \times 4 \, \text{ft} \times 2 \, \text{ft} \)? No, espero, la profundidad es \( 4 \, \text{ft} \) para ambos? Wait, la figura: la primera parte (el bloque vertical) tiene ancho \( 2 \, \text{ft} \), profundidad \( 4 \, \text{ft} \), altura \( 6 \, \text{ft} \). La segunda parte (el bloque horizontal) tiene longitud \( 7 \, \text{ft} \), profundidad \( 4 \, \text{ft} \), altura \( 2 \, \text{ft} \), pero hay una parte que se superpone? No, en realidad, el bloque horizontal tiene una longitud de \( 7 \, \text{ft} \), pero la parte vertical ocupa \( 2 \, \text{ft} \) de la longitud, pero la altura del bloque horizontal es \( 2 \, \text{ft} \), mientras que la altura del bloque vertical es \( 6 \, \text{ft} \). Entonces, el volumen total es el volumen del bloque vertical más el volumen del bloque horizontal.

Wait, volumen de un prisma rectangular es \( V = l \times w \times h \), donde \( l \) es longitud, \( w \) es ancho (profundidad), \( h \) es altura.

Primer prisma (vertical): \( l = 2 \, \text{ft} \), \( w = 4 \, \text{ft} \), \( h = 6 \, \text{ft} \). Entonces \( V_1 = 2 \times 4 \times 6 \).

Segundo prisma (horizontal): la longitud total es \( 7 \, \text{ft} \), pero la parte vertical ya ocupa \( 2 \, \text{ft} \), pero en realidad, la longitud del segundo prisma es \( 7 - 2 = 5 \, \text{ft} \)? No, wait, la figura muestra que el bloque horizontal tiene una longitud de \( 7 \, \text{ft} \), una altura de \( 2 \, \text{ft} \), y una profundidad de \( 4 \, \text{ft} \), pero hay una sección de \( 5 \, \text{ft} \)? Wait, no, mejor: el sólido se compone de dos prismas:

1. Prisma 1: \( 2 \, \text{ft} \) (largo) \( \times 4 \, \text{ft} \) (profundidad) \( \times 6 \, \text{ft} \) (alto).

2. Prisma 2: \( (7 - 2) \, \text{ft} = 5 \, \text{ft} \) (largo) \( \times 4 \, \text{ft} \) (profundidad) \( \times 2 \, \text{ft} \) (alto). Wait, pero en la figura, el bloque horizontal tiene una longitud de \( 7 \, \text{ft} \), pero la parte vertical es \( 2 \, \text{ft} \) de largo, entonces el bloque horizontal tiene un largo de \( 7 \, \text{ft} \), pero su altura es \( 2 \, \text{ft} \), y la profundidad es \( 4 \, \text{ft} \). Pero si la altura del bloque vertical es \( 6 \, \text{ft} \), entonces el bloque vertical tiene un volumen de \( 2 \times 4 \times 6 \), y el bloque horizontal tiene un volumen de \( 7 \times 4 \times 2 \), pero hay una superposición? No, porque la altura del bloque horizontal es \( 2 \, \text{ft} \) y la del vertical es \( 6 \, \text{ft} \), entonces no hay superposición en el volumen, porque están en diferentes alturas. Wait, no, la profundidad es la misma (4 ft), la longitud: el bloque vertical está en la parte izquierda, con longitud 2 ft, y el bloque horizontal está debajo o al lado? Wait, la figura: la primera parte (vertical) tiene ancho 2 ft, profundidad 4 ft, altura 6 ft. La segunda parte (horizontal) tiene longitud 7 ft, profundidad 4 ft, altura 2 ft, y está adjunta a la vertical. Entonces, la longitud total del horizontal es 7 ft, y la vertical ocupa 2 ft de la longitud, pero la altura del horizontal es 2 ft, mientras que la vertical es 6 ft. Entonces, el volumen del horizontal es \( 7 \times 4 \times 2 \), y el volumen del vertical es \( 2 \times 4 \times (6 - 2) \)? No, no, la altura del vertical es 6 ft, y el horizontal es 2 ft, entonces la parte vertical que está por encima del horizontal es \( 6 - 2 = 4 \, ft \)? No, no, la figura muestra que el vertical tiene altura 6 ft, y el horizontal tiene altura 2 ft, y la profundidad es 4 ft, y la longitud del vertical es 2 ft, y la longitud del horizontal es 7 ft. Entonces, el volumen total es el volumen del vertical (2x4x6) más el volumen del horizontal (7x4x2) menos el volumen de la superposición? Pero no hay superposición, porque el vertical está sobre el horizontal? No, la profundidad es 4 ft para ambos, la longitud: el vertical está en la parte izquierda, con longitud 2 ft, y el horizontal está extendiéndose 7 ft en la longitud, con la misma profundidad 4 ft. Entonces, el área de la base para el vertical es 2x4, y para el horizontal es 7x4, pero la altura del vertical es 6, y del horizontal es 2. Entonces, el volumen total es \( (2 \times 4 \times 6) + (7 \times 4 \times 2) \)? Wait, no, porque la longitud del horizontal es 7 ft, pero la parte que está debajo del vertical es 2 ft, entonces el horizontal tiene una longitud de 7 ft, pero la sección que está debajo del vertical es 2 ft x 4 ft x 2 ft, y la sección que está a la derecha del vertical es (7 - 2) ft x 4 ft x 2 ft. Entonces, el volumen del horizontal es \( (2 \times 4 \times 2) + ((7 - 2) \times 4 \times 2) = 7 \times 4 \times 2 \), lo que es lo mismo. Y el volumen del vertical es \( 2 \times 4 \times (6 - 2) \)? No, no, la altura del vertical es 6 ft, y el horizontal es 2 ft, entonces la parte del vertical que está por encima del horizontal es 6 - 2 = 4 ft, y la parte que está sobre el horizontal es 2 ft x 4 ft x 2 ft. Entonces, el volumen del vertical es \( (2 \times 4 \times 2) + (2 \times 4 \times (6 - 2)) = 2 \times 4 \times 6 \), lo que es correcto. Entonces, el volumen total es el volumen del vertical (2x4x6) más el volumen del horizontal (7x4x2) menos el volumen de la superposición (2x4x2), porque la superposición es la parte del vertical que está sobre el horizontal, que se ha contado dos veces. Ah, sí, porque el vertical tiene una parte de 2x4x2 que está sobre el horizontal, y el horizontal tiene una parte de 2x4x2 que está debajo del vertical, entonces al sumar \( V_vertical + V_horizontal \), estamos contando dos veces la superposición (2x4x2), por lo que debemos restarla una vez.

Entonces, \( V_{total} = V_{vertical} + V_{horizontal} - V_{superposicion} \)

\( V_{vertical} = 2 \times 4 \times 6 = 48 \, \text{ft}^3 \)

\( V_{horizontal} = 7 \times 4 \times 2 = 56 \, \text{ft}^3 \)

\( V_{superposicion} = 2 \times 4 \times 2 = 16 \, \text{ft}^3 \)

Entonces, \( V_{total} = 48 + 56 - 16 = 88 \, \text{ft}^3 \)? Wait, no, quizás mi enfoque está mal. Otra forma: dividir el sólido en dos prismas sin superposición. El primer prisma es el bloque vertical: 2 ft (largo) x 4 ft (profundidad) x 6 ft (alto). El segundo prisma es el bloque horizontal que está a la derecha del vertical: (7 - 2) ft (largo) x 4 ft (profundidad) x 2 ft (alto). Entonces:

\( V_1 = 2 \times 4 \times 6 = 48 \)

\( V_2 = (7 - 2) \times 4 \times 2 = 5 \times 4 \times 2 = 40 \)

Entonces, \( V_{total} = 48 + 40 = 88 \, \text{ft}^3 \). Sí, eso tiene más sentido, porque el bloque horizontal a la derecha del vertical tiene longitud 7 - 2 = 5 ft, profundidad 4 ft, altura 2 ft. Y el bloque vertical tiene longitud 2 ft, profundidad 4 ft, altura 6 ft. Entonces, sumando ambos: 48 + 40 = 88.

Step1: Calcular el volumen del primer prisma (vertical)

El primer prisma tiene dimensiones \( l = 2 \, \text{ft} \), \( w = 4 \, \text{ft} \), \( h = 6 \, \text{ft} \). El volumen de un prisma rectangular es \( V = l \times w \times h \).

\( V_1 = 2 \times 4 \times 6 = 48 \, \text{ft}^3 \)

Step2: Calcular el volumen del segundo prisma (horizontal derecho)

El segundo prisma tiene longitud \( l = 7 - 2 = 5 \, \text{ft} \) (ya que el primer prisma ocupa 2 ft de la longitud total de 7 ft), profundidad \( w = 4 \, \text{ft} \), y altura \( h = 2 \, \text{ft} \).

\( V_2 = 5 \times 4 \times 2 = 40 \, \text{ft}^3 \)

Step3: Sumar los volúmenes de los dos prismas

El volumen total del sólido es la suma de los volúmenes de los dos prismas.

\( V_{total} = V_1 + V_2 = 48 + 40 = 88 \, \text{ft}^3 \)

Answer:

\( 88 \)