Question

find the length of side $x$ in simplest radical form with a rational denominator.

Explanation:

Step1: Identificar el triángulo 30 - 60 - 90

En un triángulo 30 - 60 - 90, si el lado opuesto al ángulo de 30° es \(a\), el lado opuesto al ángulo de 60° es \(a\sqrt{3}\) y la hipotenusa es \(2a\). Aquí, el lado adyacente al ángulo de 60° (que no es el cateto más corto) se puede relacionar. Si consideramos el cateto más corto \(a=\frac{1}{2}\) (ya que la hipotenusa no es 1, pero si el segmento de 1 es parte del cateto largo original).

Step2: Aplicar la relación para el cateto opuesto a 60°

La fórmula para el cateto opuesto a 60° (\(x\)) en un triángulo 30 - 60 - 90 es \(x = a\sqrt{3}\). Dado que \(a=\frac{1}{2}\), entonces \(x=\frac{1}{2}\sqrt{3}\). Pero si se considera la regla de los triángulos rectángulos 30 - 60 - 90 de manera correcta, si el lado entre el ángulo de 30° y el ángulo recto se extiende 1 unidad más (suponiendo que la hipotenusa no es 1, sino que el cateto largo original se divide). Usando la trigonometría: \(\sin(30^{\circ})=\frac{\text{cateto opuesto}}{hipotenusa}\), \(\cos(30^{\circ})=\frac{\text{cateto adyacente}}{hipotenusa}\). Pero mejor, usando la relación de triángulo 30 - 60 - 90: si el cateto largo (antes de la división) es \(l\), el cateto corto \(s\) y la hipotenusa \(h\). Aquí, si el cateto largo se ve afectado por 1 unidad. Pero de manera más sencilla, si se extiende el cateto largo: \(\tan(30^{\circ})=\frac{x}{1 + x\cot(60^{\circ})}\). Pero mejor, usando la regla directa: en un triángulo rectángulo 30 - 60 - 90, si el cateto largo (opuesto a 60°) se calcula como \(x\), y el cateto corto (opuesto a 30°) es \(y\). Si la hipotenusa es \(h\), \(h = 2y\), \(x=\sqrt{3}y\). Aquí, si se supone que el cateto largo original (antes de la "marca" de 1) es \(x\), y el cateto corto es \(y\), y la hipotenusa \(h\). Pero si se ve la figura, el cateto largo se ve afectado por 1. Pero de manera correcta, usando la trigonometría: \(\sin(60^{\circ})=\frac{x}{1 + \frac{x}{\sqrt{3}}}\). Resolviendo: \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Otra forma:
Sea el triángulo rectángulo 30 - 60 - 90. Sea el cateto opuesto a 60° \(x\), el cateto opuesto a 30° \(y\). Sabemos que \(\tan(60^{\circ})=\frac{x}{y}\), y si la hipotenusa \(h\), \(h = 2y\). Pero en la figura, si se supone que el cateto largo (opuesto a 60°) \(x\) y el cateto largo total (antes de la "marca" de 1) se puede relacionar. Pero de manera más simple, usando la regla de triángulo 30 - 60 - 90:
Si el cateto largo (opuesto a 60°) \(x\), y el cateto corto (opuesto a 30°) \(y\). Sabemos que \(x = y\sqrt{3}\). Y si la hipotenusa \(h\), \(h = 2y\). Pero en la figura, si se supone que \(y=\frac{1}{2}\) (ya que la "marca" de 1 es la diferencia entre la hipotenusa y el cateto corto? No. Mejor, usando la regla directa:
En un triángulo rectángulo 30 - 60 - 90, el cateto opuesto a 60° \(x\) se calcula como \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) cuando se tiene en cuenta la relación de lados.

Answer:

\(x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)