Question

b) a fence is to be built to enclose a rectangular area of 1,250 square feet. the fence along three sides is to be made of material that costs $5 per foot. the material for the fourth side costs $15 per foot. find the dimensions of the rectangle that will allow for the cheapest fence to be built. (dont forget to define your variables) (showing a table of values from your calculator to justify your minimum counts as work!) (6 pts)

Explanation:

Step1: Definir variables

Sea \(x\) la longitud del lado que cuesta \(15\) dólares por pie y \(y\) la longitud de los otros dos lados (que cuestan \(5\) dólares por pie). El área del rectángulo es \(A = xy=1250\), entonces \(y=\frac{1250}{x}\).

Step2: Escribir la función de costo

El costo \(C\) de la valla es \(C = 5y+5y + 15x=10y + 15x\). Sustituyendo \(y=\frac{1250}{x}\) en la función de costo, obtenemos \(C(x)=10\times\frac{1250}{x}+15x=\frac{12500}{x}+15x\), con \(x>0\).

Step3: Encontrar la derivada de la función de costo

La derivada de \(C(x)\) es \(C^\prime(x)=-\frac{12500}{x^{2}}+15\).

Step4: Igualar la derivada a cero

Igualamos \(C^\prime(x) = 0\):

$$
LATEXBLOCK0
$$

Step5: Encontrar \(y\)

Como \(y = \frac{1250}{x}\), sustituyendo \(x=\frac{50}{\sqrt{3}}\), tenemos \(y=\frac{1250}{\frac{50}{\sqrt{3}}}=25\sqrt{3}\approx43.30\)

Step6: Verificar que es un mínimo

Tomamos la segunda derivada \(C^{\prime\prime}(x)=\frac{25000}{x^{3}}\). Cuando \(x = \frac{50}{\sqrt{3}}\), \(C^{\prime\prime}(x)>0\), por lo que \(x=\frac{50}{\sqrt{3}}\) y \(y = 25\sqrt{3}\) dan un mínimo.

Answer:

Las dimensiones del rectángulo son \(x=\frac{50}{\sqrt{3}}\text{ pies}\approx28.87\text{ pies}\) y \(y = 25\sqrt{3}\text{ pies}\approx43.30\text{ pies}\)