Question

exercice 34
a. soit la fonction numérique (f) définie sur (mathbb{r}) par :
\begin{cases} f(x) = 1 - e^x quad \text{si } x le 0 \\ f(x) = x(-1 + ln x) quad \text{si } x > 0 end{cases}
on note ((c_f)) la courbe représentative de la fonction (f) dans un repère orthonormé ((o; vec{i}; vec{j})) dunité graphique 1 cm.
1). etudier la continuité de (f) en (x_0 = 0).
2). a). démontrer que :
lim_{substack{x \to 0 \\ x < 0}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = -1 quad \text{et} quad lim_{substack{x \to 0 \\ x > 0}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = -infty
b). donner une interprétation graphique de ces résultats.
c). calculer (lim_{x \to +infty} f(x)) et (lim_{x \to -infty} f(x)).
3). a). pour (x > 0), calculer (f(x)) et étudier son signe.
b). pour (x le 0), calculer (f(x)) et étudier son signe.
c). dresser le tableau de variation de (f).
4). donner léquation de la tangente (t) à la courbe ((c_f)) au point dabscisse (x_0 = e).
5). a). calculer (f(e^2)).
b). etudier les branches infinies de la courbe ((c_f)).
6). tracer la tangente (t) et la courbe ((c_f)) dans le repère ((o; vec{i}; vec{j})). on précisera les demi-tangentes au point dabscisse 0.
7). soit (varphi) la restriction de (f) à lintervalle (e; +infty).
a). montrer que la fonction (varphi) admet une bijection réciproque que lon notera (varphi^{-1}) définie sur un intervalle (k) que lon précisera.
b). dresser le tableau de variation de (varphi^{-1}).
c). tracer la courbe ((c)) représentative de la réciproque (varphi^{-1}) dans le même repère ((o; vec{i}; vec{j})).
d). calculer ((varphi^{-1})(e^2)).
8). déterminer deux réels (a) et (b) pour que la fonction (f) définie et dérivable sur (0; +infty) par (f(x) = ax^2(ln x + b)) soit une primitive de la fonction (f) sur lintervalle (0; +infty).
b). vérifier que :
f(e^2) - f(e) = \frac{e^4 + e^2}{4}

exercice 35
soit (m) un nombre réel strictement positif.
soit la fonction (f_m) définie sur (0; +infty) par :
f_m(x) = mx^2 + e^{-x}
on désigne par (mathcal{c}_m) la courbe représentative de la fonction (f_m) dans un repère orthonormé ((o; vec{i}; vec{j})) dunité graphique 2 cm.
soit la fonction (g_m) définie sur (0; +infty) par :
g_m(x) = 2mx - e^{-x}
1). calculer (g_m(x)) et vérifier que (g_m(x) > 0).
2). calculer (lim_{x \to +infty} g_m(x)).
3). dresser le tableau de variation de (g_m).
4). a). démontrer que léquation (g_m(x) = 0) admet une solution réelle unique strictement positive (alpha_m).
b). donner une valeur approchée de (alpha_1) à (10^{-1}) près.
5). montrer que (f_m(x) = g_m(x)).
en déduire le sens de variation de (f_m).
6). a). déterminer (lim_{x \to +infty} f_m(x)).
b). déterminer le signe de (f_m(x) - mx^2) et sa limite en (+infty).
interpréter graphiquement le résultat.
on note ((p_m)) la courbe déquation (y = mx^2).
7). a). dresser le tableau de variation de (f_m).
b). déterminer le signe de (f_m(x)).
c). déterminer une équation de la tangente (t) à la courbe (mathcal{c}_m) au point dabscisse 0.
d). montrer que :
f_m(alpha_m) = malpha_m(alpha_m + 2)
8). on donne (k = 1).
a). montrer que le point (a(alpha_1; f_1(alpha_1))) appartient à une parabole (q_1) dont on donnera une équation.
b). construire dans le repère ((o; vec{i}; vec{j})) :

• la tangente (t)
• la courbe ((p_1))
• la parabole (q_1)
• la courbe (mathcal{c}_1)

Explanation:

🆕 New Concept Discovered: Continuity and Differentiability of Piecewise Functions
Checking limits from both sides to analyze jumps and sharp corners.

We will solve Exercice 34 step-by-step.

---

Step 1: Continuity of \( f \) at \( x_0 = 0 \)

To study the continuity of \( f \) at \( x_0 = 0 \), we must check if:[LLM SSE On Failure]

Answer:

🆕 New Concept Discovered: Continuity and Differentiability of Piecewise Functions
Checking limits from both sides to analyze jumps and sharp corners.

We will solve Exercice 34 step-by-step.

---

Step 1: Continuity of \( f \) at \( x_0 = 0 \)

To study the continuity of \( f \) at \( x_0 = 0 \), we must check if:[LLM SSE On Failure]