Question

evaluate the limits. if a limit does not exist, enter \dne\.
\\(\lim_{x\to - 7^{+}}\frac{|x + 7|}{x + 7}=\\)
\\(\lim_{x\to - 7^{-}}\frac{|x + 7|}{x + 7}=\\)
\\(\lim_{x\to - 7}\frac{|x + 7|}{x + 7}=\\)

Explanation:

Step1: Analyze when $x\to - 7^{+}$

When $x\to - 7^{+}$, $x + 7>0$, so $|x + 7|=x + 7$. Then $\lim_{x\to - 7^{+}}\frac{|x + 7|}{x + 7}=\lim_{x\to - 7^{+}}\frac{x + 7}{x + 7}=1$.

Step2: Analyze when $x\to - 7^{-}$

When $x\to - 7^{-}$, $x + 7<0$, so $|x + 7|=-(x + 7)$. Then $\lim_{x\to - 7^{-}}\frac{|x + 7|}{x + 7}=\lim_{x\to - 7^{-}}\frac{-(x + 7)}{x + 7}=-1$.

Step3: Analyze the two - sided limit

Since $\lim_{x\to - 7^{+}}\frac{|x + 7|}{x + 7}=1$ and $\lim_{x\to - 7^{-}}\frac{|x + 7|}{x + 7}=-1$, the left - hand limit and the right - hand limit are not equal. So $\lim_{x\to - 7}\frac{|x + 7|}{x + 7}$ does not exist, i.e., DNE.

Answer:

$\lim_{x\to - 7^{+}}\frac{|x + 7|}{x + 7}=1$
$\lim_{x\to - 7^{-}}\frac{|x + 7|}{x + 7}=-1$
$\lim_{x\to - 7}\frac{|x + 7|}{x + 7}=DNE$