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the figure shows $ \triangle a b c $, with $ \overleftrightarrow { c d } $ as the perpendicular bisector of $ \overline { a b } $.
part a: if $ m \angle b c d = 2 ( x + 1 ) ^ { \circ } $ and $ m \angle d a c = ( 5 x + 4 ) ^ { \circ } $, find $ m \angle b c a $.
part b: if $ c b = 2 y - 1 $, $ c a = y + 2.5 $ and $ a d = y - 1 $, find the perimeter of $ \triangle a b c $.

Question

Accepted Answer

### Part A
# Explanation:
## Step1: Aplicar el Teorema de la Bisectriz Perpendicular
Como $ \overline{CD} $ es la bisectriz perpendicular de $ \overline{AB} $, $ \triangle BCD\cong\triangle ACD $ (por el Teorema de la Bisectriz Perpendicular: si un punto está en la bisectriz perpendicular de un segmento, entonces está equidistante de los extremos del segmento, y se pueden usar criterios de congruencia como $ SAS $ ya que $ BD = AD $, $ \angle CDB=\angle CDA = 90^{\circ}$, $ CD = CD $). Entonces $ \angle BCD=\angle ACD $ y $ \angle DBC=\angle DAC$.
Dado que $ m\angle BCD = 2(x + 1)^{\circ}$ y $ m\angle DAC=(5x + 4)^{\circ}$, y $ \angle DBC=\angle DAC$ (por congruencia de triángulos), y en $ \triangle BCD$, $ \angle BDC = 90^{\circ}$, entonces $ 2(x + 1)+(5x + 4)=90$.
Desarrollamos la ecuación:
$$
\begin{align*}
2x+2 + 5x+4&=90\
7x+6&=90\
7x&=90 - 6\
7x&=84\
x&=12
\end{align*}
$$
## Step2: Calcular $ m\angle BCA$
Como $ m\angle BCA=m\angle BCD + m\angle ACD$, y $ m\angle BCD=m\angle ACD = 2(x + 1)$.
Sustituimos $ x = 12$ en $ 2(x + 1)$: $ m\angle BCD=2(12 + 1)=26^{\circ}$
Entonces $ m\angle BCA=2\times26^{\circ}=52^{\circ}$

# Answer:
$ m\angle BCA = 52^{\circ}$

### Part B
# Explanation:
## Step1: Encontrar el valor de $ y$
Como $ \triangle BCD\cong\triangle ACD $ (por la bisectriz perpendicular), $ CB = CA$.
Dado que $ CB = 2y-1$ y $ CA=y + 2.5$, entonces $ 2y-1=y + 2.5$
Resolviendo para $ y$:
$$
\begin{align*}
2y-1&=y + 2.5\
2y-y&=2.5 + 1\
y&=3.5
\end{align*}
$$
## Step2: Calcular los lados del triángulo
Calculamos $ CB=2y-1=2\times3.5-1 = 6$, $ CA=y + 2.5=3.5+2.5 = 6$, $ AD=y - 1=3.5-1 = 2.5$. Como $ BD = AD$ (por la bisectriz perpendicular), $ AB=2AD=2\times2.5 = 5$
## Step3: Calcular el perímetro
El perímetro de $ \triangle ABC$ es $ P=AB + BC+CA$
Sustituyendo los valores: $ P=5 + 6+6=17$

# Answer:
El perímetro de $ \triangle ABC$ es $ 17$

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Question

Explanation:

Part A

Step1: Aplicar el Teorema de la Bisectriz Perpendicular

Step2: Calcular \( m\angle BCA\)

Step1: Encontrar el valor de \( y\)

Step2: Calcular los lados del triángulo

Step3: Calcular el perímetro

Answer:

Part B