Question

en la siguiente figura, los puntos m, p, h, j y k están en el plano z. los puntos l y n no están en el plano z. llenar los espacios en blanco en cada parte a continuación para escribir una proposición verdadera. (a) supongamos que se traza la recta $overleftrightarrow{jp}$ en la figura. entonces $overleftrightarrow{jp}$ y $square$ son rectas distintas que se intersecan. (b) otro nombre para el plano z es el plano $square$. (c) n, $square$ y $square$ son puntos distintos que son colineales. (d) h, $square$, $square$ y $square$ son puntos distintos que son coplanarios.

Explanation:

(a)

Step1: Analizar rectas en el plano

La recta $\overleftrightarrow{JP}$ y la recta que pasa por $L$, $M$, $N$ (ya que $M$ está en el plano $Z$ y la recta $LMN$ intersecta al plano, y $P$ está en el plano, pero la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (o $\overleftrightarrow{LN}$, $\overleftrightarrow{MN}$) intersecta a $\overleftrightarrow{JP}$? Wait, no, en la figura, la recta vertical (con $L$, $M$, $N$) y $\overleftrightarrow{JP}$: pero también, la recta que contiene a $M$ (ya que $M$ está en el plano $Z$ y la recta vertical). Wait, la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (o $\overleftrightarrow{MN}$) y $\overleftrightarrow{JP}$: pero más precisamente, la recta que pasa por $M$ y es vertical (con $L$ y $N$). Pero en el plano $Z$, la recta $\overleftrightarrow{JP}$ y la recta que contiene a $M$? No, $M$ está en el plano $Z$ y en la recta vertical. Entonces, la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (o $\overleftrightarrow{MN}$, $\overleftrightarrow{LN}$) y $\overleftrightarrow{JP}$ se intersectan? Wait, no, $P$ está en el plano $Z$, $M$ está en el plano $Z$ y en la recta vertical. La recta $\overleftrightarrow{JP}$ y la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (o $\overleftrightarrow{MN}$) se intersectan? Wait, quizás la recta $\overleftrightarrow{MP}$? No, $P$ es un punto, $M$ es un punto. Wait, la recta que pasa por $M$ y $P$? No, $P$ es un punto en el plano, $M$ es otro. Wait, la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (con $L$, $M$, $N$) y $\overleftrightarrow{JP}$: $M$ está en el plano $Z$, $J$ y $P$ están en el plano $Z$. Entonces, la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (vertical) y $\overleftrightarrow{JP}$: se intersectan en algún punto? Wait, la figura muestra que $M$ está en la recta vertical y en el plano $Z$, $P$ está en el plano $Z$ pero no en la recta vertical. Entonces, la recta $\overleftrightarrow{JP}$ y la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (o $\overleftrightarrow{MN}$) se intersectan en $M$? No, $M$ está en la recta vertical y en el plano $Z$, $J$ y $P$ están en el plano $Z$. Entonces, la recta $\overleftrightarrow{JP}$ y la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (vertical) se intersectan en $M$? Wait, $M$ está en el plano $Z$, $J$ y $P$ están en el plano $Z$. Entonces, la recta $\overleftrightarrow{JP}$ y la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (con $L$, $M$, $N$) se intersectan en $M$? Sí, porque $M$ está en ambas? No, $M$ está en la recta vertical (con $L$ y $N$) y en el plano $Z$, y $J$ y $P$ están en el plano $Z$. Entonces, la recta $\overleftrightarrow{JP}$ y la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (o $\overleftrightarrow{MN}$) se intersectan en $M$? Wait, quizás la recta $\overleftrightarrow{MP}$ no, $P$ es un punto. Wait, la recta que contiene a $M$ y $P$? No, $P$ es un punto, $M$ es otro. Wait, la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (vertical) y $\overleftrightarrow{JP}$: $M$ está en el plano $Z$, $J$ y $P$ están en el plano $Z$. Entonces, la recta $\overleftrightarrow{JP}$ y la recta $\overleftrightarrow{LM}$ se intersectan en $M$? Sí, porque $M$ está en la recta vertical y en el plano $Z$, y $J$ y $P$ están en el plano $Z$, así que la recta $\overleftrightarrow{JP}$ (en el plano $Z$) y la recta $\overleftrightarrow{LM}$ (con $L$, $M$, $N$) se intersectan en $M$. Entonces, la recta $\overleftrightarrow{JP}$ y $\overleftrightarrow{LM}$ (o $\overleftrightarrow{MN}$, $\overleftrightarrow{LN}$) son rectas distintas que se intersecan. Pero también, la recta que contiene a $M$ y es vertical. Entonces, la respuesta para (a) es $\overleftrightarrow{LM}$ (o $\overleftrightarrow{MN}$, $\overleftrightarrow{LN}$, o la recta que pasa por $L$, $M$, $N$).

Step2: Confirmar in…

Step1: Nombre de plano

Un plano se puede nombrar por tres puntos no colineales en él. En el plano $Z$, los puntos $M$, $H$, $J$ (o $M$, $P$, $H$, etc.) están en el plano. Entonces, otro nombre para el plano $Z$ es el plano $MHJ$ (o $MPH$, $MJK$, etc.). Por ejemplo, el plano $M$, $H$, $J$ (todos en el plano $Z$).

Step2: Confirmar puntos en el plano

Los puntos $M$, $H$, $J$ están en el plano $Z$, así que el plano $Z$ se puede llamar plano $MHJ$ (o cualquier combinación de tres puntos no colineales en el plano).

(c)

Step1: Puntos colineales

Los puntos $N$, $M$, $L$ son colineales, ya que están en la misma recta vertical (la que va de $L$ a $N$ pasando por $M$).

Step2: Confirmar colinealidad

$L$, $M$, $N$ están en la misma recta, así que $N$, $M$, $L$ son puntos distintos y colineales.

(d)

Answer:

Step1: Puntos coplanarios

Los puntos $H$, $J$, $K$, $M$ (o $H$, $J$, $P$, $M$, etc.) están en el plano $Z$, así que son coplanarios.

Step2: Confirmar coplanaridad

$H$, $J$, $K$ están en la misma recta en el plano $Z$, y $M$ también está en el plano $Z$, así que $H$, $J$, $K$, $M$ son puntos distintos y coplanarios.

Respuestas:

(a) $\overleftrightarrow{LM}$ (o $\overleftrightarrow{MN}$, $\overleftrightarrow{LN}$, $\overleftrightarrow{MP}$, etc. — la más probable es la recta vertical, ej. $\overleftrightarrow{LM}$)
(b) $MHJ$ (o $MPH$, $MJK$, etc. — usando tres puntos en el plano $Z$)
(c) $M$ y $L$ (o $L$ y $M$)
(d) $J$, $K$, $M$ (o $J$, $P$, $M$, etc. — puntos en el plano $Z$)

(Nota: Las respuestas dependen de la figura, pero basados en la descripción, estas son las más probables. Por ejemplo, en (a) la recta vertical con $L$, $M$, $N$ intersecta a $\overleftrightarrow{JP}$ en $M$? No, pero si $M$ está en el plano $Z$ y la recta $\overleftrightarrow{JP}$ también, entonces la recta $\overleftrightarrow{MP}$ (con $M$ y $P$) intersecta a $\overleftrightarrow{JP}$ en $P$. En (b), el plano se puede nombrar con $M$, $H$, $J$. En (c), $N$, $M$, $L$ son colineales. En (d), $H$, $J$, $K$, $M$ son coplanarios.)