Question

en el triángulo rectángulo mostrado, m∠a = 30° y ab = 12√3. ¿cuánto tiempo dura? ac? elige 1 respuesta: a 6 b 6√3 do 12 d 18 24

Explanation:

Step1: Identificar el triángulo

Tenemos un triángulo rectángulo en \( C \), con \( \angle A = 30^\circ \) y hipotenusa \( AB = 12\sqrt{3} \). Queremos encontrar \( AC \), que es el cateto adyacente a \( \angle A \).

Step2: Usar la función coseno

En un triángulo rectángulo, \( \cos(\theta) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} \). Aquí, \( \theta = 30^\circ \), cateto adyacente es \( AC \), hipotenusa es \( AB = 12\sqrt{3} \).

Entonces, \( \cos(30^\circ) = \frac{AC}{AB} \). Sabemos que \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Step3: Sustituir y resolver

Sustituimos los valores: \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{12\sqrt{3}} \).

Multiplicamos ambos lados por \( 12\sqrt{3} \): \( AC = 12\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Simplificamos: \( 12\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \times 3}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)? Espera, no, espera. Wait, no, quizás me equivoqué. Wait, \( \angle A = 30^\circ \), el cateto opuesto a \( 30^\circ \) es \( BC \), y el cateto adyacente es \( AC \). Wait, no, en el triángulo, \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 30^\circ \), entonces \( \angle B = 60^\circ \). La hipotenusa es \( AB \), el cateto adyacente a \( A \) es \( AC \), y el cateto opuesto es \( BC \).

Wait, \( \cos(30^\circ) = \frac{AC}{AB} \), entonces \( AC = AB \times \cos(30^\circ) = 12\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \times 3}{2} = 18 \)? Pero las opciones incluyen 18? Wait, la opción D es 18. Wait, pero en la imagen, la opción D es 18? Wait, la imagen muestra:

A) 6

B) \( 6\sqrt{3} \)

(do) 12

D) 18

(mi) 24

Wait, entonces mi cálculo: \( 12\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \times 3}{2} = 18 \). Entonces la respuesta es D) 18.

Wait, pero quizás usar el triángulo 30-60-90. En un triángulo 30-60-90, los lados son en la relación \( 1 : \sqrt{3} : 2 \), donde el cateto opuesto a 30° es el más corto, el cateto opuesto a 60° es \( \sqrt{3} \) veces ese, y la hipotenusa es el doble del cateto opuesto a 30°.

En este caso, \( \angle A = 30^\circ \), entonces el cateto opuesto a \( A \) es \( BC \), el cateto adyacente es \( AC \), y la hipotenusa es \( AB \). Entonces, el cateto opuesto a 30° (BC) es la mitad de la hipotenusa? No, wait, en el triángulo 30-60-90, el cateto opuesto a 30° es la mitad de la hipotenusa. Entonces \( BC = \frac{AB}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \). Luego, el cateto adyacente (AC) es \( BC \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 6 \times 3 = 18 \). Sí, eso coincide. Entonces \( AC = 18 \), que es la opción D.

Answer:

D. 18