Question

drive - in theater the owner of a drive - in theater wants to relocate the concession building to make it easier for people to get treats during a movie. the location of the corners of the existing building on a coordinate plane are ( a(40,20) ), ( b(60,20) ), ( c(60,10) ), and ( d(40,10) ). he rotates the concession building so that the new coordinates are ( a(30,10) ), ( b(30,30) ), ( c(40,30) ), and ( d(40,10) ). describe the rotation.

Explanation:

Step1: Encontrar el centro de rotación

Para encontrar el centro de rotación \((h,k)\), usamos la fórmula para la rotación de un punto \((x,y)\) a \((x',y')\) en \(90^{\circ}\) en el sentido antihorario: \(

$$\begin{cases}x'=(x - h)\cos90^{\circ}-(y - k)\sin90^{\circ}+h\\y'=(x - h)\sin90^{\circ}+(y - k)\cos90^{\circ}+k\end{cases}$$

\). Sustituyendo \(A(40,20)\) y \(A'(30,10)\):
\(

$$\begin{cases}30=(40 - h)\times0-(20 - k)\times1+h\\10=(40 - h)\times1+(20 - k)\times0+k\end{cases}$$

\)
Resolviendo el primer ecuación: \(30=-20 + k+h\), es decir \(h + k=50\). Resolviendo el segundo ecuación: \(10=40 - h+k\), es decir \(-h + k=-30\). Sumando las dos ecuaciones: \(2k = 20\Rightarrow k = 10\), entonces \(h = 40\).

Step2: Verificar con otro punto

Tomamos \(B(60,20)\) y \(B'(30,30)\). Usando la fórmula de rotación \(90^{\circ}\) en el sentido antihorario con centro \((40,10)\):
\(x'=(60 - 40)\times0-(20 - 10)\times1+40=30\)
\(y'=(60 - 40)\times1+(20 - 10)\times0+10=30\)

Answer:

La rotación es de \(90^{\circ}\) en el sentido antihorario alrededor del punto \((40,10)\)