Question

divide. write your answer in simplest form. \\(\dfrac{p - 3}{6p^2 + 11p - 2} \div \dfrac{4p^2 - 8p - 5}{7p}\\)

Explanation:

Step1: Convertir la division en multiplication

Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par le inverse de la deuxième. Ainsi, \(\frac{p - 3}{6p^2 + 11p - 2} \div \frac{4p^2 - 8p - 5}{7p}\) devient \(\frac{p - 3}{6p^2 + 11p - 2} \times \frac{7p}{4p^2 - 8p - 5}\).

Step2: Factoriser les trinômes

Factoriser \(6p^2 + 11p - 2\) : On cherche deux nombres dont le produit est \(6 \times (-2)= -12\) et dont la somme est \(11\). Ces nombres sont \(12\) et \(-1\). Donc, \(6p^2 + 11p - 2 = 6p^2 + 12p - p - 2 = 6p(p + 2) - 1(p + 2) = (6p - 1)(p + 2)\).

Factoriser \(4p^2 - 8p - 5\) : On cherche deux nombres dont le produit est \(4 \times (-5)= -20\) et dont la somme est \(-8\). Ces nombres sont \(-10\) et \(2\). Donc, \(4p^2 - 8p - 5 = 4p^2 - 10p + 2p - 5 = 2p(2p - 5) + 1(2p - 5) = (2p + 1)(2p - 5)\).

Step3: Simplifier la fraction

Maintenant, on remplace les trinômes factorisés dans la multiplication :

$$ \frac{p - 3}{(6p - 1)(p + 2)} \times \frac{7p}{(2p + 1)(2p - 5)} $$

Il n'y a pas de facteurs communs entre le numérateur et le dénominateur, donc on multiplie les numérateurs et les dénominateurs :

$$ \frac{(p - 3) \times 7p}{(6p - 1)(p + 2)(2p + 1)(2p - 5)} $$

Simplifier : \(\frac{7p(p - 3)}{(6p - 1)(p + 2)(2p + 1)(2p - 5)}\)

Answer:

\(\frac{7p(p - 3)}{(6p - 1)(p + 2)(2p + 1)(2p - 5)}\)