Question

1. in the diagram shown, it is given that \\(\overline{qn}\\) bisects \\(\overline{mp}\\) and \\(\overline{qm} \cong \overline{qp}\\). which two triangles can be proven congruent by directly applying the side - side - side theorem?\

(1) \\(\triangle mqn\\) and \\(\triangle qpn\\)\
(2) \\(\triangle mrq\\) and \\(\triangle prq\\)\
(3) \\(\triangle mrn\\) and \\(\triangle prq\\)\
(4) \\(\triangle mqp\\) and \\(\triangle pnm\\)\
\\(\bigcirc\\) 1\
\\(\bigcirc\\) 2\
\\(\bigcirc\\) 3\\(\bigcirc\\) 4

Explanation:

Step1: Analizar la definición de bisectriz

Como \( \overline{QN} \) bisecta \( \overline{MP} \), entonces \( MR = PR \).

Step2: Aplicar el teorema SSS

Dado que \( \overline{QM}\cong\overline{QP} \) (dato), \( MR = PR \) (por bisectriz) y \( \overline{QN}=\overline{QN} \) (lado común). Entonces, en \( \triangle MQN \) y \( \triangle QPN \):

• \( QM = QP \)
• \( MN = PN \) (por la construcción y las propiedades de congruencia derivadas de los lados anteriores y el lado común)
• \( QN = QN \)

Answer:

1. \( \triangle MQN \) and \( \triangle QPN \)