Question

in the diagram below, \\(\overline{fg}\\) is parallel to \\(\overline{cd}\\). if \\(cf = 5\\), \\(fg = 10\\), and \\(cd = 15\\), find the length of \\(\overline{fe}\\). figures are not necessarily drawn to scale. state your answer in simplest radical form, if necessary.

Explanation:

Step1: 确定相似三角形

因为\( \overline{FG} \parallel \overline{CD} \)，所以\( \triangle EFG \sim \triangle ECD \)（平行线判定相似三角形，AA准则，公共角\( \angle E \)，内错角相等）。

Step2: 设未知数并建立比例关系

设\( FE = x \)，则\( EC = FE + CF = x + 5 \)。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，即\( \frac{FG}{CD} = \frac{FE}{EC} \)。
代入已知值\( FG = 10 \)，\( CD = 15 \)，\( FE = x \)，\( EC = x + 5 \)，得到\( \frac{10}{15} = \frac{x}{x + 5} \)。

Step3: 解比例方程

交叉相乘得\( 10(x + 5) = 15x \)。
展开左边：\( 10x + 50 = 15x \)。
移项得\( 50 = 15x - 10x \)，即\( 5x = 50 \)。
两边同时除以5，得\( x = 10 \)。

Answer:

\( FE = 10 \)