Question

determine la distance entre lordonnée à lorigine et labscisse à lorigine de la droite qui passe par (8, 14, 25) et (-4, -3, 75). à laide du clavier, écris ta réponse dans la case. arrondis - la au dixième près. la distance est denviron unités.

Explanation:

Step1: Trouver l'équation de la droite

Soit \(P_1=(8,14,25)\) et \(P_2=(-4,-3,75)\). Le vecteur directeur \(\vec{v}\) de la droite est \(\vec{v}=P_2 - P_1=(-4 - 8,-3 - 14,75 - 25)=(-12,-17,50)\).
L'équation paramétrique de la droite est \(

$$\begin{cases}x = 8-12t\\y = 14-17t\\z = 25 + 50t\end{cases}$$

\)

Step2: Trouver l'ordonnée à l'origine (\(x = 0\))

Poser \(x = 0\), on a \(8-12t=0\Rightarrow t=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
Alors \(y_0=14-17\times\frac{2}{3}=14-\frac{34}{3}=\frac{42 - 34}{3}=\frac{8}{3}\approx2.7\) et \(z_0=25+50\times\frac{2}{3}=25+\frac{100}{3}=\frac{75 + 100}{3}=\frac{175}{3}\approx58.3\)

Step3: Trouver l'abscisse à l'origine (\(y = 0\))

Poser \(y = 0\), on a \(14-17t=0\Rightarrow t=\frac{14}{17}\)
Alors \(x_0=8-12\times\frac{14}{17}=8-\frac{168}{17}=\frac{136 - 168}{17}=-\frac{32}{17}\approx - 1.9\) et \(z_1=25+50\times\frac{14}{17}=25+\frac{700}{17}=\frac{425+700}{17}=\frac{1125}{17}\approx66.2\)

Step4: Calculer la distance entre les deux points

Les deux points sont \(A=(0,\frac{8}{3},\frac{175}{3})\) et \(B=(-\frac{32}{17},0,\frac{1125}{17})\)
La distance \(d=\sqrt{(0+\frac{32}{17})^2+(\frac{8}{3}-0)^2+(\frac{175}{3}-\frac{1125}{17})^2}\)
\(=\sqrt{\frac{1024}{289}+\frac{64}{9}+(\frac{2975 - 3375}{51})^2}\)
\(=\sqrt{\frac{1024}{289}+\frac{64}{9}+\frac{(-400)^2}{51^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1024\times9\times51^2+64\times289\times51^2 + 400^2\times289\times9}{289\times9\times51^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1024\times9\times2601+64\times289\times2601+160000\times289\times9}{289\times9\times2601}}\)
\(=\sqrt{\frac{(1024\times9 + 64\times289)\times2601+160000\times289\times9}{289\times9\times2601}}\)
\(=\sqrt{\frac{(9216+18496)\times2601+416160000}{684279}}\)
\(=\sqrt{\frac{27712\times2601+416160000}{684279}}\)
\(=\sqrt{\frac{72079912+416160000}{684279}}\)
\(=\sqrt{\frac{488239912}{684279}}\approx\sqrt{713.5}\approx26.7\)

Answer:

\(26.7\)