Question

dans une usine de filtration de leau, au moins deux ingénieurs et au plus huit techniciens doivent être présents. le nombre de techniciens doit être au moins supérieur ou égal à la moitié du nombre dingénieurs. le salaire horaire maximal versé aux employés ne doit pas dépasser 400 $. représentez graphiquement le polygone de contraintes qui correspond à cette situation et déterminez les coordonnées de chacun de ses sommets.
x : nombre de ingénieur
y : nombre de techniciens
x ≥ 2
y ≥ 0.5x
y ≤ 8
40x + 20y ≤ 400

Explanation:

Step1: Identifier les contraintes

• \(x\geq2\) (le nombre d'ingénieurs est au moins 2)
• \(y\geq\frac{1}{2}x\) (le nombre de techniciens est au moins la moitié du nombre d'ingénieurs)
• \(y\leq8\) (le nombre de techniciens est au plus 8)
• \(40x + 20y\leq400\) (le coût total ne doit pas dépasser 400\$)

Step2: Trouver les sommets du polygone

• Intersection de \(x = 2\) et \(y=\frac{1}{2}x\): \((2,1)\) mais \(y\geq\frac{1}{2}x\) et \(y\geq0\) (non valide car \(y = 1\) et \(y\leq8\) mais il faut vérifier avec \(40x+20y\leq400\). En fait, intersection de \(x = 2\) et \(40x+20y=400\):

$$40\times2+20y=400\Rightarrow80 + 20y=400\Rightarrow20y=320\Rightarrow y = 16$$

(non valide car \(y\leq8\)). Intersection de \(y = 8\) et \(y=\frac{1}{2}x\): \(x=16\). Intersection de \(y = 8\) et \(40x+20y=400\):

$$40x+20\times8=400\Rightarrow40x+160=400\Rightarrow40x=240\Rightarrow x = 6$$

• Intersection de \(x = 2\) et \(y = 8\): \((2,8)\) (vérification \(40\times2+20\times8=80 + 160=240\leq400\))
• Intersection de \(y=\frac{1}{2}x\) et \(40x+20y=400\):

$$40x+20\times\frac{1}{2}x=400\Rightarrow40x + 10x=400\Rightarrow50x=400\Rightarrow x = 8,y = 4$$

Step3: Calculer la fonction objectif \(Z=40x + 20y\) aux sommets

• Sommet \((2,8)\): \(Z=40\times2+20\times8=80 + 160=240\)
• Sommet \((6,8)\): \(Z=40\times6+20\times8=240+160=400\)
• Sommet \((8,4)\): \(Z=40\times8+20\times4=320 + 80=400\)

Answer:

Les sommets du polygone de contraintes sont \((2,8)\), \((6,8)\) et \((8,4)\)