Question

¿cuánto tiempo dura? de?
elige 1 respuesta:
a ( 2sqrt{3} )
b ( 4 )
do ( 8 )
d ( 4sqrt{6} )
mi ( 12 )

Explanation:

Step1: Analizar el triángulo rectángulo

En el triángulo \( DEF \), \( \angle E = 90^\circ \), \( \angle D = 60^\circ \), entonces \( \angle F = 30^\circ \). En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo de \( 30^\circ \) es la mitad de la hipotenusa. Aquí, \( DE \) es el lado opuesto al ángulo \( F = 30^\circ \), y la hipotenusa \( DF \)? No, espera, \( EF = 4\sqrt{3} \)? Wait, no, \( EF = 4\sqrt{3} \)? Wait, en el triángulo, \( \angle D = 60^\circ \), \( \angle E = 90^\circ \), entonces \( \tan(60^\circ) = \frac{EF}{DE} \)? No, wait, \( \cos(60^\circ) = \frac{DE}{DF} \)? Wait, quizás mejor usar las razones trigonométricas. \( \cos(60^\circ) = \frac{DE}{DF} \)? No, \( \angle D = 60^\circ \), \( DE \) es el cateto adyacente a \( \angle D \), y \( EF \) es el cateto opuesto. Wait, \( \cos(60^\circ) = \frac{DE}{DF} \), pero también \( \sin(60^\circ) = \frac{EF}{DF} \). Pero si \( \angle F = 30^\circ \), entonces el lado opuesto a \( 30^\circ \) es \( DE \), y el lado opuesto a \( 60^\circ \) es \( EF = 4\sqrt{3} \). En un triángulo rectángulo, \( \tan(60^\circ) = \frac{EF}{DE} \), entonces \( \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{DE} \)? No, eso no. Wait, \( \tan(60^\circ) = \frac{EF}{DE} \), entonces \( DE = \frac{EF}{\tan(60^\circ)} \). \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \), \( EF = 4\sqrt{3} \), entonces \( DE = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \)? No, la opción B es 4. Wait, pero la opción A es \( 2\sqrt{3} \). Wait, quizás me equivoqué. Wait, \( \angle D = 60^\circ \), \( \angle E = 90^\circ \), entonces \( \angle F = 30^\circ \). El lado opuesto a \( 30^\circ \) es \( DE \), y el lado opuesto a \( 60^\circ \) es \( EF \). En un triángulo rectángulo, \( DE = \frac{EF}{\sqrt{3}} \), porque \( \tan(60^\circ) = \frac{EF}{DE} \implies DE = \frac{EF}{\tan(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \)? No, \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \), así que \( DE = \frac{EF}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \). Pero la opción A es \( 2\sqrt{3} \), B es 4. Wait, quizás el triángulo es isósceles? No, \( \angle D = 60^\circ \), \( \angle E = 90^\circ \), entonces no. Wait, quizás el lado \( EF = 4\sqrt{3} \) es el cateto opuesto a \( 60^\circ \), entonces \( DE \) es el cateto adyacente. \( \cos(60^\circ) = \frac{DE}{DF} \), pero \( \sin(60^\circ) = \frac{EF}{DF} \). Entonces \( DF = \frac{EF}{\sin(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \). Luego, \( DE = DF \times \cos(60^\circ) = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \). Ah, así que \( DE = 4 \), que es la opción B.

Step2: Confirmar con razones trigonométricas

Usando \( \cos(60^\circ) = \frac{DE}{DF} \) y \( \sin(60^\circ) = \frac{EF}{DF} \). Sabemos que \( EF = 4\sqrt{3} \), \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), entonces \( DF = \frac{EF}{\sin(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \). Luego, \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{DE}{8} \), entonces \( DE = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \).

Answer:

B. 4